Home / NGUYÊN HÀM

NGUYÊN HÀM

I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

ĐỊNH NGHĨA.

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[K\].

Hàm số \[F\left( x \right)\] được gọi là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên \[K\] nếu \[F’\left( x \right) = f\left( x \right)\] với mọi \[x \in K\]

Ví dụ 1: \[{e^{ – x}}\] là một nguyên hàm của \[ – {e^{ – x}}\] vì \[\left( { – {e^{ – x}}} \right)’ = {e^{ – x}}\]

Ví dụ 2: \[{\sin ^2}x\] là một nguyên hàm của \[\sin 2x\] vì \[\left( {{{\sin }^2}x} \right)’ = \sin 2x\]

Ví dụ 3: \[\left( {1 – \frac{4}{x}} \right).{e^x}\] là một nguyên hàm của \[{\left( {1 – \frac{2}{x}} \right)^2}.{e^x}\] vì \[\left[ {\left( {1 – \frac{4}{x}} \right).{e^x}} \right]’ = {\left( {1 – \frac{2}{x}} \right)^2}.{e^x}\]

ĐỊNH LÍ 1.

Nếu \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên \[K\] thì \[F\left( x \right) + C\] cũng là một nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên \[K\]. (\[C\] là hằng số nào đó)

Ví dụ: Nguyên hàm của \[x\] là  \[\frac{{{x^2}}}{2}\]  vì  \[\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)’ = x\]  mà  \[\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2} \right)’ = x\]  nên  \[{\frac{{{x^2}}}{2} + 2}\]  cũng là một nguyên hàm của  \[x\]

ĐỊNH LÍ 2.

Nếu \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên \[K\] thì mọi nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên \[K\] đều có dạng \[F\left( x \right) + C\] với \[C\] là hằng số

Kí hiệu: \[\boxed{\int {f\left( x \right)dx = } F\left( x \right) + C}\]

Chú ý: \[{f\left( x \right)dx}\] là vi phân của nguyên hàm \[F(x)\] của \[f(x)\]  vì  \[dF\left( x \right) = F’\left( x \right)dx = f\left( x \right)dx\]

TÍNH CHẤT.

\[\int {f’\left( x \right)dx = f\left( x \right)} \]. Ví dụ: \[\int {\left( {\sin x} \right)’dx = \int {\cos xdx} = } \sin x + C\]

\[\int {kf\left( x \right)dx = k\int {f\left( x \right)dx} } \]  với \[k\] là hằng số

\[\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx} } \pm \int {g\left( x \right)dx} \]

ĐỊNH LÍ 3.

Mọi hàm số \[f(x)\] liên tục trên \[K\] đều có nguyên hàm trên \[K\]

BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

\[\int {kdx = kx + C} \]

\[\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C,\,\,\left( {n \ne – 1} \right)} \]

\[\int {\frac{1}{{{x^n}}}dx = \int {{x^{ – n}}dx = } \frac{{{x^{ – n + 1}}}}{{ – n + 1}} + C,\,\,\left( {n \ne 1} \right)} \]

\[\int {\sqrt x dx = \int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx = \frac{{{x^{3/2}}}}{{3/2}} + C} = \frac{2}{3}.x\sqrt x + C\]

\[\int {\frac{1}{{\sqrt x }}dx = \int {{x^{ – \frac{1}{2}}}} dx = \frac{{{x^{1/2}}}}{{1/2}} + C} = 2\sqrt x + C\]

\[\int {\frac{1}{{{x^2}}}dx = \int {{x^{ – 2}}dx} = \frac{{{x^{ – 1}}}}{{ – 1}} + C = – \frac{1}{x} + C} \]

\[\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \]

\[\int {\sin xdx = – \cos x + C} \]

\[\int {\cos xdx = \sin x + C} \]

\[\int {\tan xdx = – \ln \left| {\cos x} \right| + C} \]

\[\int {\cot xdx = \ln \left| {\sin x} \right| + C} \]

\[\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \]

\[\int {\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx = \tan x + C} \]

\[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x + C} \]

\[\int {\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)dx = – \cot x + C} \]

\[\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} \]

\[\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \]

\[\int {\frac{1}{{{x^2} – {a^2}}}dx = \frac{1}{{2a}}\ln \left| {\frac{{x – a}}{{x + a}}} \right| + C} \]

\[\int {\frac{{u’}}{u}dx = \ln \left| u \right| + C} \]

\[\int {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx = \frac{1}{a}.\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C,\,\,\left( {n \ne – 1} \right)} \]

\[\int {\frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^n}}}dx = \frac{1}{a}.\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{ – n + 1}}}}{{ – n + 1}} + C,\,\,\left( {n \ne 1} \right)} \]

\[\int {\sqrt {ax + b} dx = \frac{1}{a}.\frac{2}{3}\left( {ax + b} \right)\sqrt {ax + b} + C} \]

\[\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + b} }}dx = \frac{1}{a}2.\sqrt {ax + b} + C} \]

\[\int {\frac{1}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}dx = – \frac{1}{a}.\frac{1}{{ax + b}} + C} \]

\[\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C} \]

\[\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C} \]

\[\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C} \]

\[\int {\tan \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}\ln \left| {\cos \left( {ax + b} \right)} \right| + C} \]

\[\int {\cot \left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\ln \left| {\sin \left( {ax + b} \right)} \right| + C} \]

\[\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx = \frac{1}{a}\tan \left( {ax + b} \right) + C} \]

\[\int {\left( {1 + {{\tan }^2}\left( {ax + b} \right)} \right)dx = \frac{1}{a}\tan \left( {ax + b} \right) + C} \]

\[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx = – \frac{1}{a}\cot \left( {ax + b} \right) + C} \]

\[\int {\left( {1 + {{\cot }^2}\left( {ax + b} \right)} \right)dx = – \frac{1}{a}\cot \left( {ax + b} \right) + C} \]

\[\int {{a^{mx + n}}dx =  \frac{1}{m}.\frac{{{a^{mx + n}}}}{{\ln a}} + C} \]

\[\int {{e^{mx + n}}dx = \frac{1}{m}.{e^{mx + n}} + C} \]

\[\int {\frac{1}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}}dx = \frac{1}{{b – a}}\ln \left| {\frac{{x + a}}{{x + b}}} \right| + C} \]

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

ĐỔI BIẾN SÔ

ĐỊNH LÍ 1.

Nếu \[\int {f\left( u \right)du = F\left( u \right) + C} \] và \[u = u\left( x \right)\] là hàm có đạo hàm liên tục thì \[\int {f\left( {u\left( x \right)} \right).u’\left( x \right)dx = F\left( {u\left( x \right)} \right) + C} \]

Ví dụ: Tính \[\int {{{\left( {1 – x} \right)}^9}dx} \]

Đặt \[u = 1 – x \Rightarrow du = – dx\,\,hay\,\, – du = dx\]

\[\int {{{\left( {1 – x} \right)}^9}dx} = – \int {{u^9}du = – \frac{{{u^{10}}}}{{10}} + C = – \frac{{{{\left( {1 – x} \right)}^{10}}}}{{10}} + C} \]

Ví dụ: Tính \[\int {x{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}dx} \]

Đặt \[u = 1 + {x^2} \Rightarrow du = 2xdx\,\,hay\,\,\frac{1}{2}du = xdx\]

\[\int {x{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}dx} = \frac{1}{2}\int {{u^{\frac{3}{2}}}} du = \frac{1}{2}\frac{{{u^{\frac{5}{2}}}}}{{\frac{5}{2}}} + C = \frac{1}{5}{\left( {1 + {x^2}} \right)^{\frac{5}{2}}} + C\]

PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

ĐỊNH LÍ 2. 

Nếu hai hàm số \[u = u\left( x \right)\] và \[u = u\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[K\] thì 

\[\int {u\left( x \right).v’\left( x \right)dx = u\left( x \right).v\left( x \right) – \int {u’\left( x \right).v\left( x \right)dx} } \]

Hay \[\int {udv = u.v\,\,\, – \int {vdu} } \]

Ví dụ: Tính \[\int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {1 + x} \right)\\
dv = xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{{1 + x}}dx\\
v = \frac{{{x^2}}}{2}
\end{array} \right.\]

\[\int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {1 + x} \right) – \int {\frac{{{x^2}}}{2}.\frac{1}{{1 + x}}dx} \]

\[ = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {1 + x} \right) – \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2} – 1 + 1}}{{1 + x}}dx} \]

\[ = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {1 + x} \right) – \frac{1}{2}\int {\left( {x – 1 + \frac{1}{{1 + x}}} \right)dx} \]

\[ = \frac{{{x^2}}}{2}.\ln \left( {1 + x} \right) – \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} – \frac{1}{2}\ln \left( {1 + x} \right) + C\]