Home / Toán 12 / Chương 4. Bài 2-3. Cộng, Trừ, Nhân và Chia Số Phức

Chương 4. Bài 2-3. Cộng, Trừ, Nhân và Chia Số Phức

LÝ THUYẾT

Phép cộng và trừ

Phép cộng trừ được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

Ví dụ tổng quát: Cho số phức \[z = a + bi;\,\,\,\,\,w = c + di\,\,\,\left( {a,b,c,d \in R} \right)\]

\[z + w = \left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\]

\[z – w = \left( {a + bi} \right) – \left( {c + di} \right) = \left( {a – c} \right) + \left( {b – d} \right)i\]

Ví dụ: Tinh

\[\left( {3 – 5i} \right) + \left( {2 + 4i} \right) = \left( {3 + 2} \right) + \left( { – 5i + 4i} \right) = 5 – i\]

\[\left( {4 + 3i} \right) – \left( {5 – 7i} \right) = \left( {4 – 5} \right) + \left( {3i + 7i} \right) = – 1 + 10i\]

Tổng của hai số phức liên hợp

Ví dụ tổng quát: cho \[z = a + bi\].

\[z + \overline z = a + bi + a – bi = 2a\]

Vậy tổng của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng hai lần phần thực của số phức đó

Phép nhân số phức

Phép nhân được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay \[{i^2} = – 1\] vào kết quả vừa nhận được.

Ví dụ tổng quát: \[z.w = \left( {a + bi} \right).\left( {c + di} \right) = ac + adi + cbi + bd{i^2} = \left( {ac – bd} \right) + \left( {ad + cb} \right)i\]

Ví dụ: tính

\[\left( {3 – 2i} \right)\left( {2 – 3i} \right) = 3.2 + 3.\left( { – 3i} \right) + \left( { – 2i} \right).2 + \left( { – 2i} \right).\left( { – 3i} \right) = 6 – 9i – 4i + 6{i^2} = – 13i\]

Ví dụ: tính \[{i^0},{i^1},{i^2},{i^3},{i^4},{i^5},{i^6},{i^7},…,{i^n}\left( {n \in N} \right)\]

\[\begin{array}{l}
{i^0} = 1\\
{i^1} = i\\
{i^2} = – 1\\
{i^3} = {i^2}.i = – 1.i = – i\\
– – – – – – – – – – – – – – \\
{i^4} = {i^3}.i = – i.i = 1\\
{i^5} = {i^4}.i = 1.i = i\\
{i^6} = {i^5}.i = i.i = – 1\\
{i^7} = {i^6}.i = – i\\
– – – – – – – – – – – – – –
\end{array}\]

Đặt \[n = 4k\left( {k \in Z} \right)\] ta có \[{i^n} = {i^{4k}}\], với \[k\] bất kì thì \[{i^n} = 1\]

Đặt \[n = 4k + 1\left( {k \in Z} \right)\] ta có \[{i^n} = {i^{4k + 1}}\], với \[k\] bất kì thì \[{i^n} = i\]

Đặt \[n = 4k + 2\left( {k \in Z} \right)\] ta có \[{i^n} = {i^{4k + 2}}\], với \[k\] bất kì thì \[{i^n} = -1\]

Đặt \[n = 4k + 3\left( {k \in Z} \right)\] ta có \[{i^n} = {i^{4k + 3}}\], với \[k\] bất kì thì \[{i^n} = -i\]

Chú ý: Phép cộng, phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực

Tích của hai số phức liên hợp

Ví dụ tổng quát: cho \[z = a + bi\].

\[z.\overline z = \left( {a + bi} \right)\left( {a – bi} \right) = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2}\]

Vậy tích của một số phức với số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó

Chia hai số phức

Ví dụ tổng quát: cho \[z = a + bi;\,\,\,w = c + di\]

Để tính \[\frac{z}{w}\] ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của \[w\]

\[\frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c – di} \right)}}{{\left( {c + di} \right)\left( {c – di} \right)}}\]

\[ = \frac{{ac – cdi + bci + bd}}{{{c^2} + {d^2}}}\]

\[ = \frac{{\left( {ac + bd} \right) + \left( {bc – cd} \right)i}}{{{c^2} + {d^2}}}\]

\[ = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{bc – cd}}{{{c^2} + {d^2}}}i\]

Ví dụ: Tính \[\frac{{5 – 2i}}{i} = \frac{{\left( {5 – 2i} \right)\left( { – i} \right)}}{{i\left( { – i} \right)}} = \frac{{ – 5i + 2{i^2}}}{{ – {i^2}}} = – 2 – 5i\]

Số phức nghịch đảo

Số phức \[z\] có nghịch đảo là \[\frac{1}{z} = {z^{ – 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}.\overline z \]

Chứng minh: \[\frac{1}{z} = \frac{1}{{a + bi}} = \frac{{a – bi}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\]

Ví dụ: Tìm số phức nghịch đảo của \[z\], biết \[z = 1 + 2i\]

Áp dụng công thức tính nhanh: nghịch đảo của \[z\] là \[\frac{{\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{1 – 2i}}{{{1^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i\]

BÀI TẬP

Câu 1. Số phức \[z\] thỏa mãn \[\left| z \right| + z = 0\]. Khi đó

A. \[z\] là thuần ảo B. \[\left| z \right| = 1\] C. Phần thực \[z\] âm D. \[z\] là số thực  \[ \leqslant 0\]

Câu 2. Cho hai số phức \[z = \left( {a – 2b} \right) – \left( {a – b} \right)i\] và \[w = 1 – 2i\]. Biết \[z = w.i\]. Tính \[S=a+b\]

A. \[S = – 7\] B. \[S = 7\] C. \[S = – 4\] D. \[S = 4\]

Câu 3. Số phức nghịch đảo của số phức \[z = 1 + 3i\] là

A. \[\frac{1}{{10}}\left( {1 – 3i} \right)\] B. \[\frac{1}{{10}}\left( {1 + 3i} \right)\] C. \[\frac{1}{{\sqrt {10} }}\left( {1 – 3i} \right)\] D. \[\frac{1}{{\sqrt {10} }}\left( {1 + 3i} \right)\]

Câu 4. Tìm số phức \[z\] thỏa mãn \[\left( {2 – i} \right)\left( {1 + i} \right) + \overline z = 4 – 2i\]

A. \[1 + 3i\] B. \[1 – 3i\] C. \[-1 + 3i\] D. \[-1 – 3i\]

Câu 5. Rút gọn biểu thức \[A = 1 + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^4} + … + {\left( {1 + i} \right)^{10}}\]

A. \[205 + 410i\] B. \[205 – 410i\] C. \[-205 + 410i\] D. \[-205 – 410i\]

Câu 6. Biểu diễn về dạng \[z = a + bi\] của số phức \[z = \frac{{{i^{2016}}}}{{{{\left( {1 + 2i} \right)}^2}}}\] là số phức nào?

A. \[\frac{{ – 3}}{{25}} – \frac{4}{{25}}i\] B. \[\frac{{ 3}}{{25}} – \frac{4}{{25}}i\] C. \[\frac{{  3}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i\] D. \[\frac{{ – 3}}{{25}} + \frac{4}{{25}}i\]

Câu 7. Nếu \[z = 2i + 3\] thì \[\frac{z}{{\overline z }}\] bằng

A. \[\frac{{5 + 12i}}{{13}}\] B. \[\frac{{5 – 12i}}{{13}}\] C. \[\frac{{12 + 5i}}{{13}}\] D. \[\frac{{12 – 5i}}{{13}}\]

Câu 8. Cho là \[i\] đơn vị ảo. Giá trị của biểu thức \[z = {\left( {{i^5} + {i^4} + {i^3} + {i^2} + i + 1} \right)^{20}}\] là

A. \[ – 1024\] B. \[  1024\] C. \[ – 1024i\] D. \[ 1024i\]

Câu 9. Cho số phức \[z = 1 + i + {i^2} + {i^2} + {i^3} + … + {i^9}\]. Khi đó

A. \[z = 1 + i\] B. \[z = 1 – i\] C. \[z =- 1 + i\] D. \[z = -1 – i\]

Câu 10. Số phức \[1 + \left( {1 + i} \right) + {\left( {1 + i} \right)^2} + … + {\left( {1 + i} \right)^{20}}\] có giá  trị bằng.

A. \[ – {2^{10}} + \left( {{2^{10}} + 1} \right)i\] B. \[  {2^{10}} + \left( {{2^{10}} + 1} \right)i\] C. \[ – {2^{10}}\] D. \[\left( {{2^{10}} + 1} \right)i\]

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *