VINHTRI.NET Toán Lý Hóa
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ \[\overrightarrow u \] được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \] nếu \[\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \] và giá của \[\overrightarrow u \] song song hoặc trùng với \[\Delta \].
Nhận xét. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
Nếu \[\overrightarrow u \] là vectơ chỉ phương của \[\Delta \] thì ku \[k\overrightarrow u \] \[\left( {\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 } \right)\] cũng là vectơ chỉ phương của \[\Delta \]
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ \[\overrightarrow n \] được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[\Delta \] nếu \[\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \] và giá của \[\overrightarrow n \] vuông góc với \[\Delta \].
Nhận xét. Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
Nếu \[\overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của \[\Delta \] thì kn \[k\overrightarrow n \] \[\left( {\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 } \right)\] cũng là vectơ pháp tuyến của \[\Delta \].
Liên hệ giữa vectơ chỉ phương, hệ số góc, vectơ pháp tuyến của một đường thẳng
Cho đường thẳng \[\Delta \] với \[\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\], \[\overrightarrow n = \left( {{n_1};{n_2}} \right)\] lần lượt là vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và h số góc của \[\Delta \].
\[\overrightarrow u \bot \overrightarrow n \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow {u_1}.{n_1} + {u_2}.{n_2} = 0\]
Hệ số góc \[k = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{n_1}}}{{{n_2}}}\]
Các dạng phương trình đường thẳng
Cho đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[{M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\] và nhận \[\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\] làm vectơ chỉ phương, \[\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\] làm vectơ pháp tuyến
Phương trình tham số của đường thẳng:
\[\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + {u_1}t\\
y = {y_0} + {u_2}t
\end{array} \right.\,\,\left( {t \in R} \right)\]
Phương trình tổng quát của đường thẳng:
\[a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by + c = 0\,\,\left( {c = – a{x_0} – b{y_0}} \right)\]
Một số trường hợp đặc biệt
Cho đường thẳng \[\Delta \] cắt \[Ox,Oy\] lần lượt tại \[M\left( {{a_0};0} \right);N\left( {0;{b_0}} \right),\,\,\,\left( {{a_0}.{b_0} \ne 0} \right)\].
Khi đó ta có phương trình đường thẳng theo đoạn chắn là \[\frac{x}{{{a_0}}} + \frac{y}{{{b_0}}} = 1\]
Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng: \[{d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0;{d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\]. Xét hệ sau:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0
\end{array} \right.\left( I \right)\]
\[\left( I \right)\,\,vô\,\,nghiệm \Leftrightarrow {d_1}//{d_2}\]
\[\left( I \right)\,\,vô\,\,số\,\,nghiệm \Leftrightarrow {d_1} \equiv {d_2}\]
\[\left( I \right)\,\,có\,\,nghiệm\,\,duy\,\,nhất \Leftrightarrow {d_1} \cap {d_2}\]
Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng:
\[{d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\,\,\,có\,\,\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{a_1};{b_1}} \right)\]
\[{d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\,\,\,có\,\,\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right)\]
Góc giữa hai đường thẳng được tính theo công thức: