Home / Chương 3 – Phương trình đường thẳng

Chương 3 – Phương trình đường thẳng

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ \[\overrightarrow u \] được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \[\Delta \] nếu \[\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \] và giá của \[\overrightarrow u \] song song hoặc trùng với \[\Delta \].

Nhận xét. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

Nếu \[\overrightarrow u \] là vectơ chỉ phương của \[\Delta \] thì ku \[k\overrightarrow u \] \[\left( {\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 } \right)\] cũng là vectơ chỉ phương của \[\Delta \]

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ \[\overrightarrow n \] được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[\Delta \] nếu \[\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \] và giá của \[\overrightarrow n \] vuông góc với \[\Delta \].

Nhận xét. Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

Nếu \[\overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của \[\Delta \] thì kn \[k\overrightarrow n \] \[\left( {\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 } \right)\] cũng là vectơ pháp tuyến của \[\Delta \].

Liên hệ giữa vectơ chỉ phương, hệ số góc, vectơ pháp tuyến của một đường thẳng

Cho đường thẳng \[\Delta \] với \[\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\], \[\overrightarrow n = \left( {{n_1};{n_2}} \right)\] lần lượt là vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và h số góc của \[\Delta \].

\[\overrightarrow u \bot \overrightarrow n \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow {u_1}.{n_1} + {u_2}.{n_2} = 0\]

Hệ số góc \[k = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{{n_1}}}{{{n_2}}}\]

Các dạng phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[{M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\]  và nhận \[\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\] làm vectơ chỉ phương, \[\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\] làm vectơ pháp tuyến

Phương trình tham số của đường thẳng:

\[\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + {u_1}t\\
y = {y_0} + {u_2}t
\end{array} \right.\,\,\left( {t \in R} \right)\]

Phương trình tổng quát của đường thẳng:

\[a\left( {x – {x_0}} \right) + b\left( {y – {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by + c = 0\,\,\left( {c = – a{x_0} – b{y_0}} \right)\]

Một số trường hợp đặc biệt

Cho đường thẳng \[\Delta \] cắt \[Ox,Oy\] lần lượt tại \[M\left( {{a_0};0} \right);N\left( {0;{b_0}} \right),\,\,\,\left( {{a_0}.{b_0} \ne 0} \right)\].

Khi đó ta có phương trình đường thẳng theo đoạn chắn là \[\frac{x}{{{a_0}}} + \frac{y}{{{b_0}}} = 1\]

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng: \[{d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0;{d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\]. Xét hệ sau:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0
\end{array} \right.\left( I \right)\]

\[\left( I \right)\,\,vô\,\,nghiệm \Leftrightarrow {d_1}//{d_2}\]

\[\left( I \right)\,\,vô\,\,số\,\,nghiệm \Leftrightarrow {d_1} \equiv {d_2}\]

\[\left( I \right)\,\,có\,\,nghiệm\,\,duy\,\,nhất \Leftrightarrow {d_1} \cap {d_2}\]

Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng:

\[{d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\,\,\,có\,\,\overrightarrow {{n_1}} = \left( {{a_1};{b_1}} \right)\]

\[{d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\,\,\,có\,\,\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right)\]

Góc  giữa hai đường thẳng được tính theo công thức: