CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thươngCho các hàm số \[u = u\left( x \right);\,\,v = v\left( x \right)\] có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.Ta có:\[{\left( {u + v} \right)^\prime } = u’ + v’\]\[{\left( {{\text{u}}\,{\text{ – }}\,{\text{v}}} \right)^\prime }\,{\text{ = }}\,{\text{u’}}\,\,{\text{ – }}\,\,{\text{v’}}\]\[{\left( {u.v} \right)^\prime } = u’v + v’u\]\[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u’v – v’u}}{{{v^2}}} \Rightarrow {\left( {\frac{1}{v}} \right)^\prime } = – \frac{{v’}}{{{v^2}}}\]

   Mở rộng:

   \[{\left( {{u_1} \pm {u_2} \pm … \pm {u_n}} \right)^\prime } = {u_1}^\prime \pm {u_2}^\prime \pm … \pm {u_n}^\prime \]

   \[{\left( {u.v.{\text{w}}} \right)^\prime } = u’.v.{\text{w}} + u.v’.{\text{w}} + u.v.{\text{w’}}\]

2. Đạo hàm của hàm số hợpCho hàm số \[y = f\left( {u\left( x \right)} \right) = f\left( u \right)\] với \[u = u\left( x \right)\].Khi đó: \[{y_x}^\prime = {y_u}^\prime .{u_x}^\prime \]
3. Bảng công thức đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
   

   Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản

   Đạo hàm các hàm hợp

   \[{\left( c \right)^\prime } = 0\], c là hằng số \[\eqalign{ & {\left( x \right)^\prime } = 1 \cr & {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = – \frac{1}{{{x^2}}} \cr & {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }} \cr & {\left( {{x^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .{x^{\alpha – 1}} \cr & {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x \cr & {\left( {\cos x} \right)^\prime } = – \sin x \cr & {\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x \cr & {\left( {\cot x} \right)^\prime } = – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = – \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) \cr} \]

   \[\eqalign{ & \cr & {\left( {\frac{1}{u}} \right)^\prime } = – \frac{{u’}}{{{u^2}}} \cr & {\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }} \cr & {\left( {{u^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha .u’.{u^{\alpha – 1}} \cr & {\left( {\sin u} \right)^\prime } = u’.\cos u \cr & {\left( {\cos u} \right)^\prime } = – u’.\sin u \cr & {\left( {\tan u} \right)^\prime } = \frac{{u’}}{{{{\cos }^2}u}} = u’.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & {\left( {\cot u} \right)^\prime } = – \frac{1}{{{{\sin }^2}u}} = – u’.\left( {1 + {{\cot }^2}u} \right) \cr} \]

Các dạng toán về quy tắc tính đạo hàm
Đạo hàm của hàm đa thức – hữu tỉ – căn thức và hàm hợp

 

Phương pháp:

–  Sử dụng các quy tắc, công thức tính đạo hàm trong phần lý thuyết.

– Nhận biết và tính đạo hàm của hàm số hợp, hàm số có nhiều biểu thức.

– Sử dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức.

=========================================================================================

Ví dụ 1: Đạo hàm của hàm số \[y = – 2{x^5} + 4\sqrt x \] bằng bao nhiêu?

\[y’ = – 10{x^4} + \frac{2}{{\sqrt x }}.\]

Ví dụ 2: Đạo hàm của hàm số \[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\] bằng biểu thức có dạng \[\frac{a}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\] Khi đó  nhận giá trị nào

\[y’ = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }\left( {x + 2} \right) – \left( {2x + 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \Rightarrow a = 3.\]

Ví dụ 3: Đạo hàm của hàm số \[y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}\] bằng biểu thức có dạng \[\frac{{a{x^2} + bx}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}.\] Khi đó  bằng:

\[y’ = \frac{{\left( {2x – 1} \right)\left( {x – 1} \right) – \left( {{x^2} – x + 1} \right)}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}} \Rightarrow a.b = – 2.\]

Ví dụ 4: Đạo hàm của hàm số \[y = \frac{{{x^2} + x + 3}}{{{x^2} + x – 1}}\] bằng biểu thức có dạng \[\frac{{ax + b}}{{{{\left( {{x^2} + x – 1} \right)}^2}}}.\]  Khi đó \[a + b\] bằng:

\[y’ = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} + x – 1} \right) – \left( {{x^2} + x + 3} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x – 1} \right)}^2}}} = \frac{{ – 8x – 4}}{{{{\left( {{x^2} + x – 1} \right)}^2}}} \Rightarrow a + b = – 12\]

Công thức tính nhanh:

\[\boxed{{{\left( {\frac{{a{x^2} + bx + c}}{{{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}}}} \right)}^\prime } = \frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b \\
{{a_1}}&{{b_1}} \end{array}} \right|{x^2} + 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&c \\ {{a_1}}&{{c_1}}
\end{array}} \right|x + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&c \\ {{b_1}}&{{c_1}} \end{array}} \right|}}{{{{\left( {{a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}} \right)}^2}}}}\]

Ví dụ 5: Đạo hàm của hàm số \[y = a{x^2} + \left( {a – 1} \right)x + {a^3} – {a^2}\] (với a là hằng số) tại mọi  \[x \in R\] là:

\[y’ = 2ax + a – 1\]