BÀI TOÁN MIN – MAX HÌNH KHÔNG GIAN

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho \[A\left( {2;0;0} \right)\], \[M\left( {1;1;1} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] thay đổi qua \[AM\] cắt các tia \[Oy,Oz\] lần lượt tại \[B,C\]. Khi mặt phẳng \[\left( P \right)\] thay đổi thì diện tích tam giác \[ABC\] đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {1;2; – 3} \right)\] và mặt phẳng \[(P):{\text{ }}2x + 2y – z + 9 = 0\]. Đường thẳng d đi qua \[A\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left( {3;4; – 4} \right)\] cắt \[\left( P \right)\] tại \[B\]. Điểm thay \[M\] đổi trong \[\left( P \right)\] sao cho luôn nhìn  đoạn \[AB\] dưới góc \[{90^0}\]. Khi đó độ dài \[MB\] lớn nhất, đường thẳng \[MB\] đi qua điểm nào trong các điểm sau?

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {6;3;2} \right),B\left( {2; – 1;6} \right)\]. Trên mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\], lấy điểm \[M\left( {a;b;c} \right)\] sao cho \[MA + MB\] bé nhất. Tính \[P = {a^2} + {b^3} – {c^4}\]

Trong hệ tọa độ \[Oxyz\] cho \[A\left( {3;3;0} \right), B\left( {3;0;3} \right),C\left( {0;3;3} \right)\]. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[O\], vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] sao cho mặt phẳng \[\left( P \right)\] cắt các cạnh \[AB,AC\] tại các điểm \[M,N\] thỏa mãn thể tích tứ diện \[OAMN\] nhỏ nhất. Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có phương trình:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho tam giác \[ABC\] với \[A\left( {2;1;3} \right),B\left( {1; – 1;2} \right),C\left( {3; – 6;1} \right)\]. Điểm \[M\left( {x;y;z} \right)\] thuộc mặt phẳng \[\left( {Oyz} \right)\] sao cho \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \[P = x + y + z\]

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {3;5; – 1} \right),B\left( {1;1;3} \right)\]. Tìm tọa độ điểm \[M \in \left( {Oxy} \right)\] sao cho \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\] nhỏ nhất ?

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 8\] và hai điểm \[A\left( {4;4;3} \right),B\left( {1;1;1} \right)\]. Gọi \[\left( C \right)\] là tập hợp các điểm \[M \in \left( S \right)\] để \[\left| {MA – 2MB} \right|\] đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng \[\left( C \right)\] là một đường tròn bán kính \[R\]. Tính \[R\]

Trong không gian \[Oxyz\], cho bốn điểm \[A\left( { – 4; – 1;3} \right),B\left( { – 1; – 2; – 1} \right),C\left( {3;2; – 3} \right),D\left( {0; – 3; – 5} \right)\]. Gọi \[\left( \alpha \right)\] là mặt phẳng đi qua \[D\] và tổng khoảng cách từ \[A,B,C\] đến \[\left( \alpha \right)\] lớn nhất, đồng thời ba điểm \[A,B,C\] nằm về cùng phía so với \[\left( \alpha \right)\]. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\].

Trong không gian \[Oxyz\] cho 3 điểm \[A\left( {1;1;1} \right),B\left( { – 1;2;1} \right),C\left( {3;6; – 5} \right)\]. Điểm \[M\] thuộc mặt phẳng \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\] đạt giá trị nhỏ nhất là

Trong không gian \[Oxyz\], cho ba điểm \[A\left( { – 1;0;1} \right),B\left( {3;2;1} \right),C\left( {5;3;7} \right)\]. Gọi là \[M\left( {a;b;c} \right)\] là điểm thỏa mãn \[MA = MB\] và đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \[a + b + c\]

Trong không gian với hệ tọa độ  \[Oxyz\], cho bốn điểm \[A\left( {3;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;6} \right),D\left( {1;1;1} \right)\].  Gọi là \[\Delta \] đường thẳng đi qua và \[D\] thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm \[A,B,C\] đến \[\Delta \] là lớn nhất. Hỏi \[\Delta \] đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \[A\left( {1;2;3} \right),B\left( {0;4;5} \right)\]. Gọi \[M\] là điểm sao cho \[MA = 2MB\]. Khoảng cách từ điểm \[M\] đến mặt phẳng \[\left( P \right):2x – 2y – z + 6 = 0\] đạt giá trị nhỏ nhất là

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho tứ diện \[ABCD\] có  tọa độ các điểm \[A\left( {1;1;1} \right),B\left( {2;0;2} \right),C\left( { – 1; – 1;0} \right)\]. Trên các cạnh \[AB,AC.AD\] lần lượt lấy các điểm \[B’,C’,D’\] sao cho \[\frac{{AB}}{{AB’}} + \frac{{AC}}{{AC’}} + \frac{{AD}}{{AD’}} = 4\] và tứ diện \[A’B’C’D’\] có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng \[\left( {B’C’D’} \right)\] là

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho tam giác \[ABC\] với \[A\left( {1;0;0} \right),B\left( {3;2;4} \right),C\left( {0;5;4} \right)\]. Tìm tọa độ điểm \[M\] thuộc mặt phẳng \[(Oxy)\] sao cho \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|\] nhỏ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho ba điểm \[A\left( {2; – 3;7} \right),B\left( {0;4; – 3} \right),C\left( {4;2;5} \right)\]. Biết điểm \[M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\] nằm trên \[\left( {Oxy} \right)\] sao cho \[\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\] có giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng \[{x_0} + {y_0} + {z_0}\] bằng