Home / Chương 2 - Mũ, Log / Bài 5. Phương trình mũ, phương trình lôgarit

Bài 5. Phương trình mũ, phương trình lôgarit

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

Tải tài liệu

PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Phương trình mũ cơ bản có dạng \[{a^x} = b\,\,\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\]

Nếu \[b > 0\] phương trình có nghiệm duy nhất \[x = {\log _a}b\]

Nếu \[b \leqslant 0\] phương trình vô nghiệm

CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

a) Đưa về cùng cơ số

\[{a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a \ne 1\\
f\left( x \right) = g\left( x \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\]

Ví dụ: Giải phương trình \[{2^{2x – 1}} + {4^{x + 1}} = 5\]

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ: Giải phương trình \[{6^{2x – 3}} = 1\]

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

b) Đặt ẩn phụ

\[f\left( {{a^{g\left( x \right)}}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = {a^{g\left( x \right)}},t > 0\\
f\left( t \right) = 0
\end{array} \right.,\left( {0 < a \ne 1} \right)\]

Thường gặp các dạng:

\[m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right)}} + p = 0\].

Đặt \[t = {a^{f\left( x \right)}},t > 0\], giải phương trình bậc 2 theo \[t\]

\[m.{a^{f\left( x \right)}} + n.{b^{f\left( x \right)}} + p = 0\,\,\,\left( {a.b = 1} \right)\].

Đặt \[t = {a^{f\left( x \right)}} \Rightarrow {b^{f\left( x \right)}} = \frac{1}{t}\,\,\,\,\,\left( {t > 0} \right)\]

\[m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {a.b} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0\]

Chia hai vế  cho \[{b^{2f\left( x \right)}}\,\,\,\,và\,\,đặt\,\,t = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}}\,\,\,\,\,\left( {t > 0} \right)\]

Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích:

\[u + v = uv + 1 \Leftrightarrow \left( {u – 1} \right)\left( {v – 1} \right) = 0\]

Với đặt \[u = {a^{f\left( x \right)}},v = {b^{g\left( x \right)}},\,\,\left( {u,v > 0} \right)\]

\[A.u + B.v = A.v + B.u \Leftrightarrow \left( {A – B} \right)\left( {u – v} \right) = 0\]

Với đặt \[u = {a^{f\left( x \right)}},v = {b^{g\left( x \right)}},\,\,\left( {u,v > 0} \right)\]

Ví dụ: Giải phương trình \[{9^x} – {4.3^x} – 45 = 0\]. (Đặt \[t = {3^x}\])

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ: Giải phương trình \[{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^x} + {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} – 2\sqrt 2 = 0\]

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ: Giải phương trình \[{9^{x + 1}} – {13.6^x} + {4^{x + 1}} = 0\]

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

c) Lôgarit hóa

\[{{a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < a \ne 1,b > 0\\
f\left( x \right) = {\log _a}b
\end{array} \right.}\]

\[{a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _a}{b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).{\log _a}b\]

Ví dụ: Giải phương trình \[{3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\]. (\[{\log _3}\] hai vế)

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ: Giải phương trình \[{2^{{x^2} – 1}} = {3^{x + 1}}\]. (\[{\log _2}\] hai vế)

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

d) Giải bằng phương pháp đồ thị

Giải phương trình \[{a^x} = f\left( x \right)\,\,\,\left( * \right),\,\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)\]

Xem \[\left( * \right)\] là PTHĐGĐ của \[y = {a^x}\,\,\,\& \,\,\,y = f\left( x \right)\]

Ta vẽ đồ thị của \[y = {a^x}\,\,\,\& \,\,\,y = f\left( x \right)\]

Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị

e) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 

Tính chất 1.

Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \[\left( {a;b} \right)\] thì số nghiệm của phương trình \[f\left( x \right) = k\] trên \[\left( {a;b} \right)\] không nhiều hơn một và \[f\left( u \right) = f\left( v \right) \Leftrightarrow u = v\], \[\forall u,v \in \left( {a;b} \right)\]

Tính chất 2.

Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến), hàm số \[y = g\left( x \right)\] liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \[D\] thì số nghiệm trên \[D\] của phương trình \[f\left( x \right) = g\left( x \right)\] không nhiều hơn một.

Tính chất 3.

Nếu hàm số \[y = f\left( x \right)\] luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên \[D\] thì bất phương trình \[f\left( u \right) > f\left( v \right) \Leftrightarrow u > v,\,\,\forall u,v \in D\]

f) Phương pháp đánh giá

Giải phương trình \[f\left( x \right) = g\left( x \right)\]

Nếu ta đánh giá được \[\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) \ge m\\
g\left( x \right) \le m
\end{array} \right.\] thì \[f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = m\\
g\left( x \right) = m
\end{array} \right.\]

PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng \[{\log _a}x = b\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)\]

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất \[x = {a^b}\,\,\,\forall b\]

CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

a) Đưa về cùng cơ số

\[{\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) > 0\\
f\left( x \right) = g\left( x \right)
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right)\]

Ví dụ: Giải phương trình \[{\log _3}x + {\log _9}x = 6\]. (đưa về cơ số 3)

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

b) Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình \[\log _2^2x – 3{\log _2}x + 2 = 0\]. (đặt \[t = {\log _2}x\])

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

c) Mũ hóa

Ví dụ: Giải phương trình \[{\log _2}\left( {{{3.2}^x} – 1} \right) = 2x + 1\].

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

d) Phương pháp hàm số, đánh giá

Ví dụ: Số nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left| {{x^2} – \sqrt 2 x} \right| = {\log _5}\left( {{x^2} – \sqrt 2 x + 2} \right)\] là.

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

Bài tập giáo khoa

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) \[{\left( {0,3} \right)^{3x – 2}} = 1\] b) \[{\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} = 25\] c) \[{2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4\] d) \[{\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 – 2x}} = 2\]

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) \[{3^{2x – 1}} + {3^{2x}} = 108\] b) \[{2^{x + 1}} + {2^{x – 1}} + {2^x} = 28\]
c) \[{64^x} – {8^x} – 56 = 0\] d) \[{3.4^x} – {2.6^x} = {9^x}\]

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) \[{\log _3}\left( {5x + 3} \right) = {\log _3}\left( {7x + 5} \right)\] b) \[\log \left( {x – 1} \right) – \log \left( {2x – 11} \right) = \log 2\]
c) \[{\log _2}\left( {x – 5} \right) + {\log _2}\left( {x + 2} \right) = 3\] d) \[\log \left( {{x^2} – 6x + 7} \right) = \log \left( {x – 3} \right)\]

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a) \[\frac{1}{2}\log \left( {{x^2} + x – 5} \right) = \log 5x + \log \frac{1}{{5x}}\] b) \[\frac{1}{2}\log \left( {{x^2} – 4x – 1} \right) = \log 8x + \log 4x\]
c) \[{\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _4}x + {\log _8}x = 13\] d) \[{\log _{9x}}27 – {\log _{3x}}3 + {\log _9}243 = 0\]

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO DẠNG

PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Câu 1: Phương trình \[{3^{\frac{1}{x}}} = 4\] có nghiệm là

A. \[x = {\log _2}3\] B. \[x = {\log _3}2\] C. \[x = {\log _4}3\] D. \[x = {\log _3}4\]

Câu 2: Phương trình \[{8^x} = 4\] có nghiệm là

A. \[x = \frac{2}{3}\] B. \[x = \frac{3}{2}\] C. \[x = \frac{1}{3}\] D. \[x = \frac{-2}{3}\]

Câu 3: Phương trình \[{2^x} + {2^{x + 1}} = {3^x} + {3^{x + 1}}\] có nghiệm là

A. \[x = {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{3}{4}\] B. \[x = 1\] C. \[x = 0\] D. \[x = {\log _{\frac{3}{2}}}\frac{4}{3}\]

Câu 4: Tích các nghiệm của phương trình \[{2^{2x}} – {3.2^{x + 2}} + 32 = 0\] là:

A. \[6\] B. \[32\] C. \[12\] D. \[15\]

Câu 5: Nghiệm của phương trình \[{12.3^x} + {3,15^x} – {5^{x + 1}} = 20\] là:

A. \[{\log _3}5 – 1\] B. \[{\log _3}5 + 1\] C. \[{\log _3}5\] D. \[{\log _5}3\]

Câu 6: Phương trình \[{3^{x – 2}} = \frac{3}{{{9^x}}}\] có nghiệm là

A. \[x = 1\] B. \[x = 2\] C. \[x = 3\] D. \[x = -11\]

Câu 7: Phương trình \[{2^{{x^2} – x – 4}} = \frac{1}{{16}}\] có tập nghiệm là

A. \[\left\{ {0;1} \right\}\] B. \[\left\{ {-2;2} \right\}\] C. \[\left\{ {2;4} \right\}\] D. \[\left\{ {3;6} \right\}\]

Câu 8: Nghiệm của phương trình \[{3^{x – 4}} = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^{3x – 1}}\] là:

A. \[x = \frac{6}{7}\] B. \[x = \frac{7}{6}\] C. \[x = – \frac{6}{7}\] D. \[x = – \frac{7}{6}\]

Câu 9: Phương trình \[{3^x}{.5^{x – 1}} = 7\] có nghiệm là

A. \[{\log _{15}}35\] B. \[{\log _{21}}35\] C. \[{\log _{21}}5\] D. \[{\log _{15}}21\]

Câu 10: Nghiệm của phương trình \[{2^{x – 2}} = {8^{100}}\] là:

A. \[x = 302\] B. \[x = 303\] C. \[x = – 302\] D. \[x = – 303\]

PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN

Câu 1: Cho hàm số \[f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} – 2x} \right)\]. Tập nghiệm \[S\] của phương trình là\[f’\left( x \right) = 0\] là

A. \[S = \emptyset \] B. \[S = \left\{ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\] C. \[S = \left\{ {0;2} \right\}\] D. \[S = \left\{ {1} \right\}\]

Câu 2: Tìm tập nghiệm của phương trình \[{\log _4}\left( {x – 2} \right) = 2\]

A. \[\left\{ {18} \right\}\] B. \[\left\{ {16} \right\}\] C. \[\left\{ {14} \right\}\] D. \[\left\{ {12} \right\}\]

Câu 3: Tìm nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left( {x – 1} \right) = 3\]

A. \[x = 9\] B. \[x = 7\] C. \[x = 8\] D. \[x = 10\]

Câu 4: Tìm số nghiệm của phương trình \[{\log _{x + 1}}\left( {2{x^3} + 2{x^2} – 3x + 1} \right) = 3\]

A. \[1\] B. \[2\] C. \[0\] D. \[3\]

Câu 5: Tìm số nghiệm của phương trình \[{\log _{\sqrt[4]{2}}}{\left( {{x^2} – 2} \right)^2} = 8\]

A. \[3\] B. \[2\] C. \[0\] D. \[4\]

Câu 6: Tìm số nghiệm của phương trình \[\log {\left( {x – 1} \right)^2} = 2\]

A. \[2\] B. \[1\] C. \[0\] D. \[4\]

Câu 7: Số nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left( {{2^x} – 1} \right) = – 2\]

A. \[1\] B. \[3\] C. \[2\] D. \[0\]

Câu 8: Số nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 1\]

A. \[2\] B. \[3\] C. \[1\] D. \[0\]

Câu 9: Gọi \[{x_1},{x_2}\] là 2 nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right] = 1\]. Khi đó \[{x_1} + {x_2}\] bằng:

A. \[-3\] B. \[3\] C. \[-2\] D. \[2\]

Câu 10: Gọi \[{x_1},{x_2}\] là 2 nghiệm của phương trình \[{\log _2}\left[ {x\left( {x – 1} \right)} \right] = 1\]. Khi đó \[{x_1} .{x_2}\] bằng:

A. \[-2\] B. \[1\] C. \[-1\] D. \[2\]

PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ (MŨ)

 

Đang update…

Quét mã code thường xuyên để cập nhật các dạng mới

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *