Home / Chương 2 - Mũ, Log / Bài 4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit

Bài 4. Hàm số mũ, hàm số lôgarit

HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LÔGARIT

Tải tài liệu

HÀM SỐ MŨ

Cho số thực dương \[a\] khác 1. Hàm số \[y = {a^x}\] được gọi là hàm số mũ cơ số \[a\]

Ví dụ: \[y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\] là hàm số mũ cơ số \[{\sqrt 3 }\]

Ví dụ: \[y = {5^{\frac{x}{3}}} = {\left( {{5^{\frac{1}{3}}}} \right)^x} = {\left( {\sqrt[3]{5}} \right)^x}\] là hàm số mũ cơ số \[{\sqrt[3]{5}}\]

Ví dụ: \[y = {4^{ – x}} = {\left( {{4^{ – 1}}} \right)^x} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\] là hàm số mũ cơ số \[{\frac{1}{4}}\]

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ

Hàm số \[y = {e^x}\] có đạo hàm tại mọi \[x\] và \[\left( {{e^x}} \right)’ = {e^x}\]

Hàm số \[y = {a^x}\] có đạo hàm tại mọi \[x\] và \[\left( {{a^x}} \right)’ = {a^x}\ln a\]

Với hàm hợp: \[\left( {{a^u}} \right)’ = u’.{a^u}\ln a\]

Ví dụ: đạo hàm của hàm số \[y = {2^{{x^2} + x}}\] là: \[y’ = \left( {{x^2} + x} \right)'{.2^{{x^2} + x}}.\ln 2 = \left( {2x + 1} \right){.2^{{x^2} + x}}.\ln 2\]

KHẢO SÁT HÀM SỐ MŨ \[y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\]

\[y = {a^x}\left( {a > 1} \right)\]

Tập xác định: \[R\]

\[y’ = {a^x}\ln a > 0,\,\,\forall x\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {a^x} = 0\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty \]

Tiệm cận: \[Ox\] là TCN

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

\[y = {a^x}\left( {0 < a < 1} \right)\]

Tập xác định: \[R\]

\[y’ = {a^x}\ln a < 0,\,\,\forall x\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {a^x} = + \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = 0\]

Tiệm cận: \[Ox\] là tiệm cận ngang

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

HÀM SỐ LÔGARIT

Cho số thực dương \[a\] khác 1. Hàm số \[y = {\log _a}x\] được gọi là hàm số lôgarit cơ số \[a\]

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LÔGARIT

Hàm số \[y = {\log _a}x\] có đạo hàm tại mọi \[x>0\] và \[\left( {{{\log }_a}x} \right)’ = \frac{1}{{x\ln a}}\]

Đặc biệt: \[\left( {\ln x} \right)’ = \frac{1}{x}\]

Đối với hàm hợp: \[\left( {{{\log }_a}u} \right)’ = \frac{{u’}}{{u\ln a}}\]

Ví dụ: Tính đạo hàm của \[y = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\]

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

KHẢO SÁT HÀM SỐ LÔGARIT  \[y = {\log _a}x,\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\]

\[y = {\log _a}x,\,\,\left( {a > 1} \right)\]

TXĐ: \[\left( {0; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{1}{{x\ln a}} > 0,\,\,\forall x > 0\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _a}x = – \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\log _a}x = + \infty \]

Tiệm cận đứng: \[Oy\]

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

\[y = {\log _a}x,\,\,\left( {0 < a < 1} \right)\]

TXĐ: \[\left( {0; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{1}{{x\ln a}} < 0,\,\,\forall x > 0\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\log _a}x =+\infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\log _a}x = – \infty \]

Tiệm cận đứng: \[Oy\]

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

NHẬN XÉT: Đồ thị của các hàm số \[y = {a^x}\] và \[y = {\log _a}x\] \[\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\] đối xứng nhau qua đường \[y = x\]

BẢNG ĐẠO HÀM

\[\left( {{x^\alpha }} \right)’ = \alpha .{x^{\alpha – 1}}\]

\[\left( {\frac{1}{x}} \right)’ = – \frac{1}{{{x^2}}}\]

\[\left( {\sqrt x } \right)’ = \frac{1}{{2\sqrt x }}\]

\[\left( {{e^x}} \right)’ = {e^x}\]

\[\left( {{a^x}} \right)’ = {a^x}\ln a\]

\[\left( {\ln \left| x \right|} \right)’ = \frac{1}{x}\]

\[\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)’ = \frac{1}{{x\ln a}}\]

\[\left( {{u^\alpha }} \right)’ = \alpha .{u^{\alpha – 1}}.u’\]

\[\left( {\frac{1}{u}} \right)’ = – \frac{{u’}}{{{u^2}}}\]

\[\left( {\sqrt u } \right)’ = \frac{{u’}}{{2\sqrt u }}\]

\[\left( {{e^u}} \right)’ = u'{e^u}\]

\[\left( {{a^u}} \right)’ = u'{a^u}\ln a\]

\[\left( {\ln \left| u \right|} \right)’ = \frac{{u’}}{u}\]

\[\left( {{{\log }_a}\left| u \right|} \right)’ = \frac{{u’}}{{u\ln a}}\]

Bài tập giáo khoa

Bài 1. Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) \[y = {4^x}\]          b) \[y = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\]

Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số:

\[a)\,\,\,y = 2x{e^x} + 3\sin 2x\]          \[b)\,\,\,y = 5{x^2} – {2^x}\cos x\]          \[c)\,\,\,y = \frac{{x + 1}}{{{3^x}}}\]

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 3. Tìm tập xác định các hàm số:

\[a)\,\,\,y = {\log _2}\left( {5 – 2x} \right)\]          \[b)\,\,\,y = {\log _3}\left( {{x^2} – 2x} \right)\]          \[c)\,\,\,y = {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)\]          \[d)\,\,\,y = {\log _{0,4}}\frac{{3x + 2}}{{1 – x}}\]

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 4. Vẽ đồ thị các hàm số:  \[a)\,\,\,y = \log x\]          \[b)\,\,\,y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\]

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 5. Tính đạo hàm các hàm số:

\[a)\,\,\,y = 3{x^2} – \ln x + 4\sin x\]          \[b)\,\,\,y = \log \left( {{x^2} + x + 1} \right)\]          \[c)\,\,\,y = \frac{{{{\log }_3}x}}{x}\]

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………….

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG

BÀI TOÁN LÃI SUẤT – TRẢ GÓP

Lãi đơn: tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra

\[\boxed{{T_n} = {T_0}\left( {1 + r.n} \right)}\]

\[{T_n}:\] là tiền vốn lẫn lãi sau \[n\] kì hạn nhận được

\[{T_0}:\] là tiền ban đầu

\[r:\] lãi suất

\[n:\] kì hạn

Lãi kép: là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kỳ

a. Lãi kép, gửi một lần: \[\boxed{{T_n} = {T_0}{{\left( {1 + r} \right)}^n}}\]

\[{T_n}:\] là tiền vốn lẫn lãi sau \[n\] kì hạn nhận được

\[{T_0}:\] là tiền ban đầu

\[r:\] lãi suất

\[n:\] kì hạn

b. Lãi kép liên tục: \[\boxed{{T_n} = {T_0}{e^{nr}}}\]

\[{T_n}:\] là tiền vốn lẫn lãi sau \[n\] kì hạn nhận được

\[{T_0}:\] là tiền ban đầu

\[r:\] lãi suất

\[n:\] kì hạn

c. Lãi kép, gửi định kỳ: 

Trường hợp gửi tiền định kì cuối tháng: \[\boxed{{T_n} = \frac{m}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} – 1} \right]}\]

\[{T_n}:\] là tiền vốn lẫn lãi sau \[n\] kì hạn nhận được

\[r:\] lãi suất

\[n:\] kì hạn

\[m:\] là tiền cuối mỗi tháng gửi vào

Trường hợp gửi tiền định kì đầu tháng: \[\boxed{{T_n} = \frac{m}{r}\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^n} – 1} \right]\left( {1 + r} \right)}\]

\[{T_n}:\] là tiền vốn lẫn lãi sau \[n\] kì hạn nhận được

\[r:\] lãi suất

\[n:\] kì hạn

\[m:\] là tiền đầu mỗi tháng gửi vào

Trường hợp vay nợ và trả tiền định kì đầu tháng: \[\boxed{{T_n} = A{{\left( {1 + r} \right)}^n} – m\left( {1 + r} \right)\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} – 1}}{r}}\]

\[A\]: là số tiền vay

\[m\]: là số tiền trả định ki mỗi tháng

\[r:\] lãi suất

\[n:\] kì hạn

Trường hợp vay nợ và trả tiền định kì cuối tháng: …Bạn đọc tự xây dựng thử

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1. Đầu năm 2016, anh A có xe máy cày trị giá 100 triệu đồng. Biết mỗi tháng thì xe hao mòn mất giá 0, 4% trị, đồng thời làm ra được 6 triệu đồng ( số tiền làm ra mỗi tháng là không đổi). Hỏi sau một năm, tổng số tiền ( bao gồm giá tiền xe và tổng số tiền anh A làm ra ) anh A có là bao nhiêu?

A. \[167,3042\] triệu B. \[177,3042\] triệu C. \[187,3042\] triệu D. \[197,3042\] triệu

Câu 2. Anh B gởi tiết kiệm số tiền ban đầu là 50 triệu đồng theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 0,72% tháng. Sau một năm anh B rút cả vốn lẫn lãi và gởi theo kỳ hạn 6 tháng với lãi suất 0,78% tháng. Sau khi gởi đúng một kỳ hạn 6 tháng do có việc anh gởi thêm 3 tháng nữa thì phải rút tiền trước hạn cả gốc lẫn lãi được số tiền là 57.694.945,55đồng (chưa làm tròn ). Biết rằng khi rút tiền trước hạn lãi suất được tính theo lãi suất không kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng. Trong số 3 tháng anh gởi thêm lãi suất là

A. \[0,4\% \] B. \[0,3\% \] C. \[0,5\% \] D. \[0,1\% \]

Câu 3. Bạn C muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm. Đầu mỗi năm học, bạn ấy vay 10 triệu đồng với lãi suất là 4%. Hỏi tiền mà C nợ ngân hàng sau 4 năm, biết rằng trong 4 năm đó, ngân hàng không thay đổi lãi suất ( kết quả làm tròn đến nghìn đồng)

A. \[44163000\,\,\,đồng\] B. \[45163000\,\,\,đồng\] C. \[46163000\,\,\,đồng\] D. \[47163000\,\,\,đồng\]

Câu 4. Công nhân D được nhận lương khởi điểm là 8.000.000đồng/tháng. Cứ sau hai năm lương mỗi tháng của D được tăng thêm so 10%với mức lương hiện tại. Tính tổng số tiền T (đồng) D nhận được sau 6 năm làm việc.

A. \[633.600.000\] B. \[635.520.000\] C. \[696.960.000\] D. \[766.656.000\]

Câu 5. Anh E đi làm được lĩnh lương khởi điểm 4.000.000đồng/tháng. Cứ 3 năm, lương của E lại được tăng thêm 7%/1 tháng. Hỏi sau 36 năm làm việc anh E nhận được tất cả bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng)

A. \[1.287.968.000\] đồng B. \[1.931.953.000\] đồng C. \[2.575.937.000\] đồng D. \[3.219.921.000\] đồng

Câu 6. Một người đem gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 1% một tháng. Biết rằng cứ sau mỗi quý ( 3 tháng) thì lãi sẽ được cộng dồn vào vốn gốc. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu năm thì người đó nhận lại được số tiền bao gồm cả vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu

A. \[8\] B. \[9\] C. \[10\] D. \[11\]

Câu 7.  Một người vay ngân hàng một tỷ đồng theo phương thức trả góp để mua nhà. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất người đó trả 40 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,65% mỗi tháng (biết lãi suất không thay đổi) thì sau bao lâu người đó trả hết số tiền trên?

A. \[28\] tháng B. \[27\] tháng C. \[26\] tháng D. \[30\] tháng

Câu 8. Một người gửi ngân hàng 100 triệu theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,5% một tháng. Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có nhiều hơn 125 triệu?

A. \[28\] tháng B. \[45\] tháng C. \[38\] tháng D. \[30\] tháng

Câu 9. Năm 2014, một người đã tiết kiệm được \[x\] triệu đồng và dùng số tiền đó để mua nhà nhưng trên thực tế người đó phải cần \[1,55x\] triệu đồng. Người đó quyết định gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất là 6,9% / năm theo hình thức lãi kép và không rút trước kỳ hạn. Hỏi năm nào người đó mua được căn nhà đó (giả sử rằng giá bán căn nhà đó không thay đổi)

A. Năm 2019 B. Năm 2020 C. Năm 2021
D. Năm 2022

Câu 10.  Ông A gởi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm với lãi suất là 12% một năm. Sau \[n\] năm ông rút toàn bộ số tiền (cả vốn lẫn lãi). Tìm số nguyên dương \[n\] nhỏ nhất để số tiền lãi nhận được lớn hơn 40 triệu đồng (giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi)

A. \[2\] B. \[4\] C. \[3\] D. \[5\]

Đang update….

BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN MÔN

Câu 1. Số lượng của một loài vi khuẩn sau \[t\](giờ) được xấp xỉ bởi đẳng thức \[Q\left( t \right) = {Q_0}.{e^{0,195t}}\], trong đó \[{Q_0}\] là số lượng vi khuẩn ban đầu. Nếu số lượng vi khuẩn ban đầu là \[5000\] con thì sau bao nhiêu giờ, số lượng vi khuẩn có \[100.000\] con

A. \[20\] B. \[24\] C. \[15,36\] D. \[3\]

Câu 2. Theo số liệu của Tổng cục thống kê, năm dân 2016 số Việt Nam ước tính khoảng 94.444.200 người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,07%. Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức \[S = A.{e^{Nr}}\] (trong  đó \[A\] là dân số của năm lấy làm mốc tính, \[S\] là dân số sau \[N\] năm, \[r\] là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người

A. \[2039\] B. \[2038\] C. \[2040\] D. \[2037\]

Câu 3. Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là 78685800 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức \[S = A.{e^{Nr}}\] (trong đó:\[A\] là dân số của năm lấy làm mốc tính, \[S\] là dân số sau \[N\] năm, \[r\] là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 120 triệu người

A. \[2020\] B. \[2022\] C. \[2026\] D. \[2025\]

Câu 4. Sự tăng trưởng của loại vi khuẩn tuân theo công thức \[S = A.{e^{rt}}\], trong đó \[A\] là số lượng vi khuẩn ban đầu, \[r\] là tỉ lệ tăng trưởng \[\left( {r > 0} \right)\] , \[t\] là  thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị là giờ). Biết số vi khuẩn ban đầu là \[100\] con và sau 5 giờ có \[300\] con. Thời gian để vi khuẩn tăng gấp đôi số ban đầu gần đúng nhất với kết quả nào trong các kết quả sau đây.

A. 3 giờ 20 phút B. 3 giờ 9 phút C. 3 giờ 40 phút D. 3 giờ 2 phút

Câu 5. Thang đo Richte được Charles Francis đề xuất và sử dụng lần đầu tiên vào năm 1935 để sắp xếp các số đo độ chấn động của các cơn động đất với đơn vị Richte. Công thức tính độ chấn động như sau: \[{M_L} = \log A – \log {A_o}\], \[{M_L}\] là độ chấn động, \[A\] là biên độ tối
đa được đo bằng địa chấn kế và \[{A_o}\] là biên
 độ chuẩn. Hỏi theo thang độ Richte, cùng với một biên độ chuẩn thì biên độ tối đa của một trận động đất 7 độ Richte sẽ lớn gấp mấy lần biên độ tối đa của một trận động đất 5 độ Richte?

A. \[2\] B. \[20\] C. \[100\] D. \[{10^{\frac{5}{7}}}\]

Câu 6. Ngày 1/7/2016, dân số Việt Nam khoảng 91,7 triệu người. Nếu tỉ lệ tăng dân số Việt Nam hàng năm là 1, 2% và tỉ lệ này ổn định 10 năm liên tiếp thì ngày 1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng bao nhiêu triệu người?

A. \[104,3\] triệu người B. \[105,3\] triệu người C. \[103,3\] triệu người D. \[106,3\] triệu người

Câu 7. Một loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận một lượng nhỏ Cacbon 14 (một đồng vị của Cacbon). Khi cây đó chết đi thì hiện tượng quang hợp cũng sẽ ngưng và nó sẽ không nhận Cacbon 14 nữa. Lượng Cacbon 14 của nó sẽ phân hủy chậm chạp và chuyển hóa thành Nitơ 14. Gọi \[P\left( t \right)\] là số phần trăm Cacbon còn 14 lại trong một bộ phận của cây sinh trưởng \[t\] năm trước đây thì \[P\left( t \right)\] được cho bởi công thức \[P\left( t \right) = 100.{\left( {0,5} \right)^{\frac{t}{{5750}}}}\% \]. Phân tích một mẫu gỗ từ công trình kiến trúc gỗ, người ta thấy  lượng Cacbon 14 còn lại trong gỗ là 65, 21%. Hãy xác định số tuổi của công trình kiến trúc đó. 

A. \[3547\] năm B. \[3574\] năm C. \[3457\] năm D. \[3745\] năm

Câu 8. Một đám vi trùng tại ngày thứ \[t\] có số lượng \[N\left( t \right)\], biết rằng \[N’\left( t \right) = \frac{{7000}}{{t + 2}}\] và lúc đầu đám vi trùng có 300000 con. Hỏi sau 10 ngày, đám vi trùng có bao nhiêu con (làm tròn số đến hàng đơn vị)?

A. \[412542\] con B. \[312542\] con C. \[512542\] con D. \[612542\] con

Câu 9. Khi ánh sáng đi qua một môi trường (chẳng hạn như không khí, nước, sương mù, …) cường độ sẽ giảm dần theo quãng đường truyền \[x\], theo công  thức \[I\left( x \right) = {I_o}.{e^{ – \mu x}}\], trong đó \[{I_o}\] là cường độ của ánh sáng khi bắt đầu truyền vào môi trường và \[\mu \] là hệ số hấp thu của môi trường đó. Biết rằng nước biển có hệ số hấp thu \[\mu = 1,4\] và người ta tính được rằng khi đi từ độ sâu 2m  xuống đến độ sâu 20m thì cường độ ánh sáng giảm \[l{.10^{10}}\] lần. Số nguyên nào sau đây gần với \[l\] nhất?

A. \[8\] B. \[90\] C. \[9\]
D. \[10\]

Câu 10. Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau \[t\] tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức \[M\left( t \right) = 75 – 20\ln \left( {t + 1} \right),t \ge 0\] (đơn vị % ). Hỏi sau khoảng bao lâu thì số học sinh nhớ được danh sách đó là dưới 10%.

A. \[24\] tháng B. \[23\] tháng C. \[25\] tháng
D. \[22\] tháng

Đang update…

Quét mã code thường xuyên để cập nhật các dạng mới

About TranVinhTri

Thích đủ thứ

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *