Home / Chương 1 - Hàm Số / BÀI 4 – ĐƯỜNG TIỆM CẬN

BÀI 4 – ĐƯỜNG TIỆM CẬN

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tiệm cận ngang.

Định nghĩa:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng \[\left( {a; + \infty } \right),\left( { – \infty ;b} \right)\,\,or\,\,\left( { – \infty ; + \infty } \right)\] ).

Đường thẳng \[y = {y_0}\] là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = {y_0}\]

Tiệm cận đứng.

Định nghĩa:

Đường thẳng \[x = {x_0}\] là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = – \infty \]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = – \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } f\left( x \right) = + \infty \]

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{x}{{2 – x}}\]

Tập xác định \[x \ne 2\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{x}{{2 – x}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{2 – x}} = – \infty \]

\[ \Rightarrow x = 2\,\,là\,\,TCĐ\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{2 – x}} = – 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{x}{{2 – x}} = – 1\]

\[ \Rightarrow y = – 1\,\,là\,\,TCN\]

Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{ – x + 7}}{{x + 1}}\]

Tập xác định \[x \ne -1\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = – \infty \]

\[ \Rightarrow x = – 1\,\,là\,\,TCĐ\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = – 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = – 1\]

\[ \Rightarrow y = – 1\,\,là\,\,TCN\]

Ví dụ 3. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{2x – 5}}{{5x – 2}}\]

Tập xác định \[x \ne \frac{2}{5}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^ + }} \frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = – \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^ – }} \frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = + \infty \]

\[ \Rightarrow x = \frac{2}{5}\,\,là\,\,TCĐ\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = \frac{2}{5},\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = \frac{2}{5}\]

\[ \Rightarrow y = \frac{2}{5}\,\,là\,\,TCN\]

Ví dụ 4. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{7}{x} – 1\]

Tập xác định \[x \ne 0\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{7}{x} – 1} \right) = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {\frac{7}{x} – 1} \right) = – \infty \]

\[ \Rightarrow x = 0\,\,la\,\,TCD\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{7}{x} – 1} \right) = – 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\frac{7}{x} – 1} \right) = – 1\]

\[ \Rightarrow y = – 1\,\,la\,\,TCN\]

Ví dụ 5. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{2 – x}}{{9 – {x^2}}}\]

Tập xác định \[x \ne \pm 3\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2 – x}}{{9 – {x^2}}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{{2 – x}}{{9 – {x^2}}} = – \infty \]

\[ \Rightarrow x = 3\,\,la\,\,TCD\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} \frac{{2 – x}}{{9 – {x^2}}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} \frac{{2 – x}}{{9 – {x^2}}} = – \infty \]

\[ \Rightarrow x = – 3\,\,la\,\,TCD\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 – x}}{{9 – {x^2}}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2 – x}}{{9 – {x^2}}} = 0\]

\[ \Rightarrow y = 0\,\,la\,\,TCN\]

Ví dụ 6. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}}\]

Tập xác định \[x \ne \left\{ {\frac{3}{5}; – 1} \right\}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ – }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = + \infty \]

\[ \Rightarrow x = \frac{3}{5}\,\,la\,\,TCD\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – \infty \]

\[ \Rightarrow x = – 1\,\,la\,\,TCD\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – \frac{1}{5},\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – \frac{1}{5}\]

\[ \Rightarrow y = – \frac{1}{5}\,\,la\,\,TCN\]

Ví dụ 7. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}}\]

Tập xác định \[x \ne – 1\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}} = – \infty \]

\[ \Rightarrow x = – 1\,\,la\,\,TCD\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}} = – \infty \]

Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang

Ví dụ 8. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}}\]

Tập xác định \[x \ne 1\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} = – \infty \]

\[ \Rightarrow x = 1\,\,la\,\,TCD\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} = 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} = 1\]

\[ \Rightarrow y = 1\,\,la\,\,TCN\]

Ví dụ 9. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{3}{{x + 1}}\]

Tập xác định \[x \ne -1\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{3}{{x + 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \frac{3}{{x + 1}} = – \infty \]

\[ \Rightarrow x = -1\,\,la\,\,TCD\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{{x + 1}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{3}{{x + 1}} = 0\]

\[ \Rightarrow y = 0\,\,la\,\,TCN\]

Ví dụ 10. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{x}\]

Tập xác định \[x \ne 0\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{1}{x} = – \infty \]

\[ \Rightarrow x = 0\,\,la\,\,TCD\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{x} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{1}{x} = 0\]

\[ \Rightarrow y = 0\,\,la\,\,TCN\]

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CŨNG CỐ KIẾN THỨC

ĐƯỜNG TIỆM CẬN

About TranVinhTri

Thích đủ thứ

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *