Home / Chương 3 - Nguyên hàm, tích phân / Bài 3. Ứng dụng tích phân trong hình học

Bài 3. Ứng dụng tích phân trong hình học

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Tải tài liệu

I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và trục hoành

\[\left( H \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
y = f\left( x \right)\\
y = 0
\end{array}\\
{x = a}\\
{x = b}
\end{array}} \right. \Rightarrow \]\[\boxed{S = \int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} }\]

Ví dụ: Tính diện tích hinh phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^3}\], trục hoành và 2 đường thẳng \[x=-1, x=2\]

……………………………………………………………………………………

\[S = \int_{ – 1}^2 {\left| {{x^3}} \right|} dx\]

Xét dấu \[{{x^3}}\] trên đoạn \[\left[ { – 1;2} \right]\]:

\[S = \int_{ – 1}^2 {\left| {{x^3}} \right|} dx = \mathop {\underbrace {\int_{ – 1}^0 {\left( { – {x^3}} \right)} dx}_ \downarrow }\limits_{\frac{1}{4}} + \mathop {\underbrace {\int_0^2 {{x^3}} dx}_ \downarrow }\limits_4 \]

\[S = \frac{1}{4} + 4 = \frac{{17}}{4}\]

……………………………………………………………………………………

2. Hình phẳng giới hạm bởi 2 đường cong

\[\left( D \right):\left\{ \begin{array}{l}
y = {f_1}\left( x \right)\\
y = {f_2}\left( x \right)\\
x = a\\
x = b
\end{array} \right. \Rightarrow \]\[\boxed{S = \int_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) – {f_2}\left( x \right)} \right|dx} }\]

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai ham số \[y = \cos x,y = \sin x\] và \[x = 0,x = \pi \]

……………………………………………………………………………………

PTHĐ: \[\sin x = \cos x\]

\[ \Leftrightarrow \sin x – \cos x = 0\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in Z} \right)\]

\[0 \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le \pi \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{4} \in \left[ {0;\pi } \right]\]

\[S = \int_0^\pi {\left| {\sin x – \cos x} \right|} dx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\left| {\sin x – \cos x} \right|} dx + \int_{\frac{\pi }{4}}^\pi {\left| {\sin x – \cos x} \right|} dx\]

Xét \[\left| {\sin x – \cos x} \right|\] trên đoạn \[\left[ {0;\pi } \right]\]:

\[\left| {\sin x – \cos x} \right| = \left| {\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)} \right| = \left[ \begin{array}{l}
\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\,\,\,\,khi\,x \ge \frac{\pi }{4}\\
\, – \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\,\,\,\,khi\,x \le \frac{\pi }{4}
\end{array} \right.\]

\[S = \int_0^\pi {\left| {\sin x – \cos x} \right|} dx = \underbrace {\int_0^{\frac{\pi }{4}} { – \left( {\sin x – \cos x} \right)} dx}_{\sqrt 2 – 1} + \underbrace {\int_{\frac{\pi }{4}}^\pi {\left( {\sin x – \cos x} \right)} dx}_{\sqrt 2 + 1} = 2\sqrt 2 \]

……………………………………………………………………………………

II. TÍNH THỂ TÍCH

1. Thể tích của vật thể

\[\boxed{V = \int_a^b {S\left( x \right)dx} }\]

Ví dụ: Tính thể tích khối lăng trụ biết diện tích đáy bằng \[B\], chiều cao lăng trụ bằng \[h\]

\[V = \int_0^h {S\left( x \right)dx} = \int_0^h {Bdx} = Bx\left| {_0^h} \right. = B.h\]

Ví dụ: Tính thể tích khối chóp tứ giác có đáy hình vuông và diện tích đáy bằng \[B\], chiều cao khối chóp bằng \[h\]

 

Đặt khối chóp vào hệ tọa độ như hình ta có:

\[\frac{{MN}}{{AD}} = \frac{{ON}}{{OA}} = \frac{x}{h} \Rightarrow {\left( {\frac{{MN}}{{AD}}} \right)^2} = {\left( {\frac{x}{h}} \right)^2}\]

\[\frac{{M{N^2}}}{{A{D^2}}} = \frac{{S\left( x \right)}}{B} = \frac{{{x^2}}}{{{h^2}}} \Rightarrow S\left( x \right) = B\frac{{{x^2}}}{{{h^2}}}\]

\[V = \int_0^h {S\left( x \right)dx} = \int_0^h {B\frac{{{x^2}}}{{{h^2}}}dx} = \left( {\frac{B}{{{h^2}}}.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| {_0^h} \right. = \frac{1}{3}Bh\]

Tính thể tích khối chóp cục \[QKRS.ABCD\]:

\[\frac{{S\left( x \right)}}{B} = \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} \Rightarrow S\left( x \right) = B\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}\]

\[{V_{QKRS.ABCD}} = \int_a^b {S\left( x \right)dx = } \int_a^b {B\frac{{{x^2}}}{{{b^2}}}dx = } \frac{B}{{3{b^2}}}{x^3}\left| {_a^b} \right. = \frac{B}{{3{b^2}}}\left( {{b^3} – {a^3}} \right)\]

\[ = \frac{{b – a}}{3}.\frac{{B{b^2} + Bab + B{a^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{b – a}}{3}.\left( {\frac{{B{b^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{Bab}}{{{b^2}}} + \frac{{B{a^2}}}{{{b^2}}}} \right)\,\left( * \right)\]

Có: \[\left\{ \begin{gathered}b – a = h \hfill \\B’ = \frac{{B{a^2}}}{{{b^2}}} \hfill \\\end{gathered} \right. \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) = \frac{h}{3}.\left( {B + \frac{{Ba}}{b} + B’} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\]

Có: \[\frac{{Ba}}{b} = \sqrt {\frac{{B.B.{a^2}}}{{{b^2}}}} = \sqrt {B.B’} \Rightarrow {V_{QKRS.ABCD}} = \frac{h}{3}.\left( {B + \sqrt {B.B’} + B’} \right)\]

III. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

 

\[V = \pi \int\limits_x^b {{f^2}\left( x \right)dx} \]

Ví dụ: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = \sin x,\,\,Ox,\,\,x = 0,\,\,x = \pi \]. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh \[Ox\]

\[V = \pi \int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}xdx} = …\]

Bài tập giáo khoa

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

a) \[y = {x^2},y = x + 2\]          b) \[y = \left| {\ln x} \right|,y = 1\]          c) \[y={{\left( x-6 \right)}^{2}},y=6x-{{x}^{2}}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………..

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \[y = {x^2} + 1\], tiếp tuyến với đường này tại điểm \[M\left( {2;5} \right)\] và trục \[Oy\]

Hướng dẫn:

…………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………..

Bài 3. Parabol \[y = \frac{{{x^2}}}{2}\] chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \[2\sqrt 2 \] thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng

…………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………..

Bài 4. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục \[Ox\]

a) \[y = 1 – {x^2},y = 0\]          b) \[y = \cos x,y = 0,x = 0,x = \pi \]          c) \[y = \tan x,y = 0,x = 0,x = \frac{\pi }{4}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………..

Bài 5. Cho tam giác vuông \[OPM\] có cạnh \[OP\] nằm trên trục \[Ox\]. Đặt \[\widehat {POM} = \alpha \], \[OM = R\left( {0 \le \alpha \le \frac{\pi }{3},R > 0} \right)\]. Gọi \[A\] là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục \[Ox\].

a) Tính thể tích của \[A\] theo \[\alpha ,R\]

b) Tìm \[\alpha \] sao cho thể tích của \[A\] lớn nhất

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG

DẠNG 1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI ĐỒ THỊ CỦA \[f(x)\], \[Ox\], \[x=a.x=b\]

Câu 1. Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right),Ox,x = a,x = b\,\left( {a < b} \right)\]

A. \[\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \] B. \[\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \] C. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \] D. \[\pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \]

Câu 2. Cho hàm số \[y=f(x)\] liên tục trên \[R\] và có đồ thị như hình. Hình phẳng tô đậm có diện tích là

A. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx – \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} } \]

C. \[ – \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} } \]

B. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} } \]

D. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx – \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} } \]

Câu 3. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[R\], có đồ thị như hình vẽ. Gọi là \[S\] diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \[f\left( x \right)\], trục hoành và trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \[S = \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} – \int\limits_d^0 {f\left( x \right)dx} \]

C. \[S = – \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} + \int\limits_d^0 {f\left( x \right)dx} \]

B. \[S = – \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} – \int\limits_d^0 {f\left( x \right)dx} \]

D. \[S = \int\limits_c^d {f\left( x \right)dx} + \int\limits_d^0 {f\left( x \right)dx} \]

Câu 4. Diện tích hình phẳng \[(H)\] được giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y=f(x)\], trục hoành và 2 đường \[x=a, x=b\] \[(a<b)\] (phần tô đậm) được tính bởi công thức

A. \[S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \]

C. \[S = \left| {\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \right|\]

B. \[S = – \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \]

D. \[S = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \]

Câu 5. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[R\] và có đồ thị \[(C)\] là đường cong như hình. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[(C)\] trục hoành và hai đường thẳng \[x = 0,x = 2\] (phần tô đậm) là

 

A. \[\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \]

C. \[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} – \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \]

B. \[ – \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \]

D. \[\left| {\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} } \right|\]

Câu 6. Gọi \[S\] la diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính \[S\] là 

A. \[S = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \]

C. \[S = \int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right)dx} \]

B. \[S = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx – \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \]

D. \[S = – \int\limits_{ – 1}^2 {f\left( x \right)dx} \]

Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ,\[y = {x^3} – 3{x^2}\] trục hoành và hai đường thẳng , \[x = 1,x = 4\] là 

A. \[\frac{{53}}{4}\] B. \[\frac{{51}}{4}\] C. \[\frac{{49}}{4}\] D. \[\frac{{25}}{2}\]

Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^4} – 3{x^2} – 4\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 0,x = 3\] là 

A. \[\frac{{142}}{5}\] B. \[\frac{{143}}{5}\] C. \[\frac{{144}}{5}\] D. \[\frac{{141}}{5}\]

Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số\[y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\], trục hoành và đường thẳng \[x = 2\] là 

A. \[3 + 2\ln 2\] B. \[3 -\ln 2\] C. \[3 – 2\ln 2\] D. \[3 + \ln 2\]

Câu 10. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \cos x\], trục tung, trục hoành và đường thẳng \[x = \pi \] bằng 

A. \[3\] B. \[2\] C. \[4\] D. \[1\]

Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \cos 2x\] trục hoành và hai đường thẳng \[x = 0,x = \frac{\pi }{2}\] là 

A. \[2\] B. \[1\] C. \[3\] D. \[4\]

Câu 12. Tính diện tích \[S\] của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {e^x} + {e^{ – x}}\] trục hoành, trục tung và đường thẳng \[x = – 2\]

A. \[S = \frac{{{e^4} + 1}}{{{e^2}}}\](đvdt) B. \[S = \frac{{{e^4} – 1}}{e}\](đvdt) C. \[S = \frac{{{e^2} – 1}}{e}\](đvdt) D. \[S = \frac{{{e^4} – 1}}{{{e^2}}}\](đvdt)

 Câu 13. Diện tích \[S\] của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2}\] trục hoành \[Ox\] các đường thẳng \[x = 1,x = 2\] là

A. \[S = \frac{7}{3}\] B. \[S = \frac{8}{3}\] C. \[S = 7\] D. \[S = 8\]

Câu 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2}\sqrt {{x^2} + 1} \] trục \[Ox\] và đường thẳng \[x = 1\] bằng \[\frac{{a\sqrt b – \ln \left( {1 + \sqrt b } \right)}}{c}\] với \[a,b,c\] là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của \[a + b + c\] là

A. \[11\] B. \[12\] C. \[13\] D. \[14\]

Câu 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}\] và các trục tọa độ \[Ox,Oy\] ta được \[S = a\ln \frac{b}{v} – 1\] chọn đáp án đúng:

A. \[a + b + c = 8\] B. \[a > b\] C. \[a – b + c = 1\] D. \[a + 2b – 9 = c\]

ĐANG UPDATE…

DẠNG 2. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG \[y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = a,x = b\]

Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\]. Gọi \[\left( H \right)\] là hình giới hạn bỏi hai đồ thị \[y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\] và các đường thẳng \[x = a,x = b\]. Diện tích hình \[\left( H \right)\] được tính theo công thức: 

A. \[{S_H} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx – \int\limits_a^b {\left| {g\left( x \right)} \right|dx} } \]

C. \[{S_H} = \left| {\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} } \right|\]

B.\[{S_H} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right|dx} \]

D.  \[{S_H} = \int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} \]

Câu 2. Cho hình  phẳng  \[\left( H \right)\] giới hạn bỏi hai đồ thị hai hàm số  \[{f_1}\left( x \right)\] và \[{f_2}\left( x \right)\]và hai đường thẳng \[x = a,x = b\](tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích hình diện tích hình \[\left( H \right)\] là: 

A. \[S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) – {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \]

C. \[S = \int\limits_a^b {\left| {{f_1}\left( x \right) + {f_2}\left( x \right)} \right|dx} \]

B. \[S = \int\limits_a^b {\left( {{f_1}\left( x \right) – {f_2}\left( x \right)} \right)dx} \]

D.  \[S = \int\limits_a^b {{f_2}\left( x \right)dx – \int\limits_a^b {{f_1}\left( x \right)dx} } \]

Câu 3. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[R\] và thỏa mãn \[f\left( 0 \right) < 0 < f\left( { – 1} \right)\]. Gọi \[S\] là hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right),y = 0,x = – 1\] và \[x = 1\]. Xét các mệnh đề sau

\[\left( I \right)S = \int\limits_{ – 1}^0 {f\left( x \right)dx + \int\limits_o^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx.\left( {II} \right)} } S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \]

\[\left( {III} \right)S = \int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx.\left( {IV} \right)} S = \left| {\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)} dx} \right|\]

Số mệnh đề đúng là:

A. \[1\] B. \[4\] C. \[2\] D. \[3\]

Câu 4. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ {1;2} \right]\]. Gọi \[\left( D \right)\] là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right),y = 0,x = 1\] và \[x = 2\]. Công thức tính diện tích \[S\] của \[\left( D \right)\] là các công thức nào trong các công thức dưới đây?

A. \[S = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \] B. \[S = \int\limits_1^2 {{f^2}\left( x \right)dx} \] C. \[S = \int\limits_1^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \] D. \[S = \pi \int\limits_1^2 {{f^2}\left( x \right)dx} \]

Câu 5. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục hình\[Ox\]phẳng giới hạn bởi các đường  \[y = 0,y = \sqrt {x,y = x – 2} \]. 

A. \[\frac{{8\pi }}{3}\] B. \[\frac{{16\pi }}{3}\] C. \[10\pi \] D. \[8\pi \]

Câu 6. Tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi parabol  \[y = {x^2}\]đường thẳng và \[y = – x + 2\] trục hoành trên đoạn\[\left[ {0;2} \right]\](phần gạch sọc trong hình vẽ)

A. \[\frac{3}{5}\] B. \[\frac{87}{4}\] C. \[\frac{87}{3}\] D. \[\frac{87}{5}\]

Câu 7. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , tiệm cận xiêm của và hai \[(C):y = \frac{{ – {x^2} + 4x – 4}}{{x – 1}}\] đường thẳng có \[x = 0,x = a\left( {a < 0} \right)\] diện tích bằng Khi \[5\] đó \[a\] bằng

A. \[1 – {e^5}\] B. \[1 + {e^5}\] C. \[1 + 2{e^5}\] D. \[1 – 2{e^5}\]

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong , và các \[y = \sin x,y = \cos x\]đường thẳng \[x = 0,x = \pi \]  bằng ?

A. \[\sqrt 2 \] B. \[2\sqrt 2 \] C. \[ – 2\sqrt 2 \] D. \[3\sqrt 2 \]

Câu 9. Diện tích \[S\]của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số\[y = x\] và \[y = {e^x}\] trục tung và đường thẳng \[x = 1\] được tính theo công thức:

A. \[S = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x} – 1} \right|} dx\] B. \[S = \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} – x} \right)} dx\] C. \[S = \int\limits_0^1 {\left( {x – {e^x}} \right)} dx\] D. \[S = \int\limits_{ – 1}^1 {\left| {{e^x} – x} \right|} dx\]

Câu 10. Tính diện tích \[S\]của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {e^x},y = 2,x = 0,x = 1\]

A. \[S = 4\ln 2 = e – 5\] B. \[S = 4\ln 2 = e – 6\] C. \[S = {e^2} – 7\] D. \[S = e – 3\]

 

ĐANG UPDATE…

DẠNG 3: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG \[y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\]. 

Câu 1. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \[y = 2 – {x^2}\] đường thẳng \[y = – x\] là

A. \[\frac{7}{2}\] B. \[\frac{9}{4}\] C. \[3\] D. \[\frac{9}{2}\]

Câu 2.  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số\[y = {x^2}\,và \,y = x\] là

A. \[\frac{\pi }{6}\] B. \[\frac{1}{6}\] C. \[\frac{5}{6}\] D. \[ – \frac{1}{6}\]

Câu 3.  Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số\[y = \sqrt x \,và \,y = \sqrt[3]{x}\] là

A. \[\frac{1}{{12}}\] B. \[\frac{1}{{13}}\] C. \[\frac{1}{{14}}\] D. \[\frac{1}{{15}}\]

Câu 4. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \[y = 2{x^3} – 3{x^2} + 1\, và \,y = {x^3} – 4{x^2} + 2x + 1\]

A. \[\frac{{37}}{{13}}\] B. \[\frac{{37}}{{12}}\] C. \[3\] D. \[4\]

Câu 5. Tính diện tích \[S\] của hình phẳng giới hạn bởi\[\left( P \right):y = {x^2} – 4\] tiếp tuyến của \[\left( P \right)\] tại \[M\left( {2;0} \right)\] và trục \[Oy\] là

A. \[S = \frac{4}{3}\] B. \[S = 2\] C. \[S = \frac{8}{3}\] D. \[S = \frac{7}{3}\]

Câu 6. Gọi \[\left( H \right)\]  là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \[y = \left( {1 + {e^x}} \right)x,y = \left( {1 + e} \right)x\] Diện tích của \[\left( H \right)\] bằng

A. \[\frac{{e – 1}}{2}\] B. \[\frac{{e – 2}}{2}\] C. \[\frac{{e + 2}}{2}\] D. \[\frac{{e + 1}}{2}\]

Câu 7. Hình phẳng \[\left( H \right)\] được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \[y = \left| {{x^2} – 1} \right|,y = \left| x \right|x + 5\]. Diện tích của \[\left( H \right)\] bằng

A. \[\frac{{71}}{3}\] B. \[\frac{{73}}{3}\] C. \[\frac{{70}}{3}\] D. \[\frac{{74}}{3}\]

Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng\[\begin{gathered}
y = \left\{ \begin{gathered}
– x\,\,\,\,khi\,x \leqslant 1 \hfill \\
x – 2\,\,\,\,khi\,x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,và \,y = \frac{{10}}{3}x – {x^2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} \] là \[\frac{a}{b}\]. khi đó \[a + 2b\] bằng

A. \[16\] B. \[15\] C. \[17\] D. \[18\]

Câu 9. Hình phẳng \[\left( H \right)\] được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \[y = \left| {{x^2} – 4x + 3} \right|,y = x + 3\]. Diện tích của hình \[\left( H \right)\] bằng 

A. \[\frac{{108}}{5}\] B. \[\frac{{109}}{5}\] C. \[\frac{{109}}{6}\] D. \[\frac{{119}}{6}\]

Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , \[\left( P \right):y = {x^2} + 3\] tiếp tuyến của \[\left( P \right)\] tại điểm có hoành độ \[x = 2\] và trục tung bằng

A. \[\frac{8}{3}\] B. \[\frac{4}{3}\] C. \[2\] D. \[\frac{7}{3}\]

ĐANG UPDATE….

DẠNG 4: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI NHIỀU ĐƯỜNG CONG (>2 đường cong)

Câu 1. Cho parabol  \[\left( P \right):y = {x^2} + 2\] và hai tiếp tuyến của \[\left( P \right)\]tại các điểm và \[M\left( {1;3} \right)\,và \,N(2;6)\]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \[\left( P \right)\] và hai tiếp tuyến đó bằng

A. \[\frac{9}{4}\] B. \[\frac{13}{4}\] C. \[\frac{7}{4}\] D. \[\frac{21}{4}\]

Câu 2. Cho  \[\left( H \right)\] là hìnhphẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình \[y = \frac{{10}}{3}x – {x^2},y = \left\{ \begin{gathered}
– x\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x \leqslant 1 \hfill \\
x – 2\,\,\,\,khi\,\,x > 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]. Diện tích của hình \[\left( H \right)\] bằng

A. \[\frac{{11}}{6}\] B. \[\frac{{13}}{2}\] C. \[\frac{{11}}{2}\] D. \[\frac{{14}}{3}\]

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \left| {x – 1} \right|\] và nửa trên của đường tròn
\[{x^2} + {y^2} = 1\]  bằng?

A. \[\frac{\pi }{4} – \frac{1}{2}\] B. \[\frac{{\pi – 1}}{2}\] C. \[\frac{\pi }{2} – 1\] D. \[\frac{\pi }{4} – 1\]

Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = 2x,y = {x^2},y = 1\] trên miền \[x \geqslant 0,y \leqslant 1\] là

A. \[\frac{1}{2}\] B. \[\frac{1}{3}\] C. \[\frac{5}{{12}}\] D. \[\frac{2}{3}\]

Câu 5. Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường \[y = \sqrt {4 – {x^2}} ,y = 2,y = x\] có diện tích là
\[S = a + b.\pi \] . Chọn kết quả đúng: 

A. \[a > 1,b > 1\] B. \[a + b < 1\] C. \[a + 2b = 3\] D. \[{a^2} + 4{b^2} \geqslant 5\]

Câu 6. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số\[y = {x^2};y = \frac{1}{{27}}{x^2};y = \frac{{27}}{x}\] bằng 

A. \[27\ln 2\] B. \[27\ln 3\] C. \[28\ln 3\] D. \[29\ln 3\]

Câu 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \[y = {x^2} – 6x + 12\] và các  tiếp tuyến tại các
điểm \[A\left( {1;7} \right)\,và \,B\left( { – 1;19} \right)\] 

A. \[\frac{1}{3}\] B. \[\frac{2}{3}\] C. \[\frac{4}{3}\] D. \[2\]

Câu 8. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \[y = 2x;y = {x^2};y = 1\] trên miền \[x \geqslant 0;y \leqslant 1\]

A. \[\frac{1}{3}\] B. \[\frac{1}{2}\] C. \[\frac{5}{12}\] D. \[\frac{2}{3}\]

Câu 9. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng  \[y = 8x,y = x\]  và đồ thị hàm số\[y = {x^3}\] là \[\frac{a}{b}\]. khi đó \[a + b\] bằng

A. \[68\] B. \[67\] C. \[66\] D. \[65\]

Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \[y = 1,y = x\] và đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2}}}{4}\] trong miền \[x \geqslant 0,y \leqslant 1\] là \[\frac{a}{b}\]. Khiđó \[b – a\] bằng

A. \[4\] B. \[2\] C. \[3\] D. \[1\]

ĐANG UPDATE…

 DẠNG 5: DIỆN TÍCH \[S\] GIỚI HẠN BỞI:

Đồ thị của \[x = g\left( y \right),x = h\left( y \right)\], \[h\left( y \right)\] liên tục trên \[\left[ {c;d} \right]\]

Hai đường \[x = c,x = d\]

Câu 1.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \[{y^2} – 2y + x = 0,x + y = 0\] là

A. \[\frac{9}{4}\] B. \[\frac{9}{2}\] C. \[\frac{7}{2}\] D. \[\frac{11}{2}\]

Câu 2. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là 

A. \[\frac{8}{3}\] B. \[\frac{11}{3}\] C. \[\frac{7}{3}\] D. \[\frac{10}{3}\]

… đang update …

Quét mã code thường xuyên để cập nhật bài mới

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *