Bài 3. Lôgarit

LÔGARIT

ĐỊNH NGHĨA

Cho hai số dương \[a,b\] với \[a \ne 1\]. Số \[\alpha \] thỏa mãn đẳng thức \[{a^\alpha } = b\] được gọi là lôgarit cơ số \[a\] của \[b\]

Kí hiệu: \[{\log _a}b\]

\[\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\]

Ví dụ. Tính \[{\log _{\frac{1}{2}}}4;\,\,\,{\log _3}\frac{1}{{27}}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

TÍNH CHẤT

Cho \[a,b\] dương, \[a \ne 1\]

\[{\log _a}1 = 0;\,\,\,\,\,{\log _a}a = 1\]

\[{a^{{{\log }_a}b}} = b;\,\,\,\,\,{\log _a}\left( {{a^\alpha }} \right) = \alpha \]

Chứng minh tính chất trên:

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ. Tính \[{4^{{{\log }_2}\frac{1}{7}}}.{\left( {\frac{1}{{25}}} \right)^{{{\log }_5}\frac{1}{3}}}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

QUY TẮC TÍNH LÔGARIT

Cho ba số dương \[a,b,c\], \[a \ne 1\]:

\[{\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c\]

\[{\log _a}\frac{b}{c} = {\log _a}b – {\log _a}c\]

\[{\log _a}\frac{1}{b} = – {\log _a}b\]

\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\]

\[{\log _a}\sqrt[n]{b} = \frac{1}{n}{\log _a}b\]

\[{\log _a}b = \frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}},\,\,\left( {c \ne 1} \right)\]

\[{\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b,\,\,\left( {\alpha \ne 0} \right)\]

Ví dụ. Tính \[{\log _{20}}5\] theo \[\alpha \]. Biết \[\alpha = {\log _2}20\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ. Rút gọn \[A = {\log _{\frac{1}{3}}}7 + 2{\log _9}49 – {\log _{\sqrt 3 }}\frac{1}{7}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Ví dụ. So sánh \[{\log _2}3\,\,\,\,\& \,\,\,\,{\log _6}5\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

LÔGARIT THẬP PHÂN: là lôgarit cơ số 10, ví dụ \[{\log _{10}}a\,\,\,hay\,\,\,\lg a\]

LÔGARIT TỰ NHIÊN: là lô garit cơ số \[e\], ví dụ \[{\log _e}a\,\,\,hay\,\,\,\ln a\], \[\left( {e \approx 2,718281828459045} \right)\]

Bài tập giáo khoa

Bài 1. Không dùng máy tính, hãy tính

\[a)\,\,{\log _2}\frac{1}{8}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,{\log _{\frac{1}{4}}}2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,{\log _3}\sqrt[4]{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d)\,\,{\log _{0,5}}0,125\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 2. Tính: \[a)\,\,{4^{{{\log }_2}3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,{27^{{{\log }_9}2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,{9^{{{\log }_{\sqrt 3 }}2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d)\,\,{4^{{{\log }_8}27}}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 3. Rút gọn biểu thức: \[a)\,\,{\log _3}6.{\log _8}9.{\log _6}2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,{\log _a}{b^2} + {\log _{{a^2}}}{b^4}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 4. So sánh \[a)\,\,{\log _3}5\,\,\,\& \,\,\,{\log _7}4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,{\log _{0,3}}2\,\,\,\& \,\,\,{\log _5}3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,{\log _2}10\,\,\,\& \,\,\,{\log _5}30\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 5.

a) Cho \[a = {\log _{30}}3,\,\,\,b = {\log _{30}}5\]. Tính \[{\log _{30}}1350\] theo \[a,b\]

b) Cho \[c = {\log _{15}}3\]. Tính \[{\log _{25}}15\] theo \[c\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO DẠNG

TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC CHỨA LÔGARIT

Câu 1: Cho các số dương \[a,b,c,d\]. Biểu thức \[\ln \frac{a}{b} + \ln \frac{b}{c} + \ln \frac{c}{d} + \ln \frac{d}{a}\] bằng

A. \[0\]

B. \[1\]

C. \[\ln \left( {abcd} \right)\]

D. \[2\]

Câu 2: Nếu \[{\log _a}b = p\] thì \[{\log _a}{a^2}{b^4}\] bằng

A. \[4p + 2\]

B. \[4p + 2a\]

C. \[{a^2}{p^4}\]

D. \[{p^4} + 2a\]

Câu 3: Tính giá trị của biểu thức \[T = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {\frac{{\sqrt[4]{{27}}.\sqrt[3]{9}}}{{\sqrt 3 }}} \right)\]

A. \[T = \frac{{11}}{4}\]

B. \[T = \frac{{11}}{24}\]

C. \[T = \frac{{11}}{6}\]

D. \[T = \frac{{11}}{12}\]

Câu 4: Cho \[a,b,c > 0,c \ne 1\] và đặt \[{\log _c}a = m\], \[{\log _c}b = n\], \[T = {\log _{\sqrt c }}\left( {\frac{{{a^3}}}{{\sqrt[4]{{{b^3}}}}}} \right)\]. Tính \[T\] theo \[m,n\]

A. \[T = \frac{{3m}}{2} – \frac{{3n}}{8}\]

B. \[T = 6n – \frac{{3m}}{2}\]

C. \[T = \frac{{3m}}{2} + \frac{{3n}}{8}\]

D. \[T = 6m – \frac{{3n}}{2}\]

Câu 5: Cho các số thực \[a,b,c\] thỏa mãn: \[{a^{{{\log }_3}7}} = 27,\,\,{b^{{{\log }_7}11}} = 49,\,\,{c^{{{\log }_{11}}25}} = \sqrt {11} \]. Giá trị của biểu thức \[A = {a^{{{\left( {{{\log }_3}7} \right)}^2}}} + {b^{{{\left( {{{\log }_7}11} \right)}^2}}} + {c^{{{\left( {{{\log }_{11}}25} \right)}^2}}}\] là

A. \[519\]

B. \[729\]

C. \[469\]

D. \[129\]

Câu 6: Cho \[{\log _2}x = \sqrt 2 \]. Tính giá trị của biểu thức \[P = \log _2^2x + {\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _4}x\]

A. \[P = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\]

B. \[P = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

C. \[P = 2\sqrt 2 \]

D. \[P = \frac{{4 – \sqrt 2 }}{2}\]

Câu 7: Cho \[\frac{{8\pi {a^3}}}{3},{\log _a}c = – 2\]. Giá trị của \[{\log _a}\left( {\frac{{{a^4}\sqrt[3]{b}}}{{{c^3}}}} \right)\] bằng

A. \[11\]

B. \[12\]

C. \[21\]

D. \[18\]

Câu 8: Cho \[n > 1\] là một số nguyên dương. Giá trị của \[\frac{1}{{{{\log }_2}n!}} + \frac{1}{{{{\log }_3}n!}} + … + \frac{1}{{{{\log }_n}n!}}\]

A. \[1\]

B. \[0\]

C. \[n\]

D. \[n!\]

Câu 9: Cho là \[a\] số thực dương khác 1 và \[b > 0\] thỏa \[{\log _a}b = \sqrt 3 \]. Tính \[A = {\log _{a{b^2}}}\frac{a}{{{b^2}}}\] bằng

A. \[\frac{{4\sqrt 3 – 13}}{{11}}\]

B. \[\frac{{13 – 4\sqrt 3 }}{{11}}\]

C. \[\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\]

D. \[\frac{1}{{12}}\]

Câu 10: Cho \[a,b > 0,a \ne 1\] thỏa mãn \[{\log _a}b = \frac{b}{4}\] và \[{\log _2}a = \frac{{16}}{b}\]. Tổng \[a+b\] bằng

A. \[18\]

B. \[17\]

C. \[16\]

D. \[15\]

BIẾN ĐỔI, RÚT GỌN, BIỂU DIỄN BIỂU THỨC CHỨA LÔGARIT

Câu 1: Nếu \[\log 4 = a\] thì \[\log 4000\] bằng

A. \[3 + a\]

B. \[4 + a\]

C. \[3 + 2a\]

D. \[4 + 2a\]

Câu 2: Cho các số thực \[a < b < 0\]. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \[\ln {\left( {ab} \right)^2} = \ln {a^2} + \ln {b^2}\]

B. \[\ln \sqrt {ab} = \frac{1}{2}\left( {\ln a + \ln b} \right)\]

C. \[\ln \frac{a}{b} = \ln \left| a \right| – \ln \left| b \right|\]

D. \[\ln {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} = \ln {a^2} – \ln {b^2}\]

ĐANG UPDATE….