Home / Đại 11 Chương 4 / Bài 3. Hàm số liên tục

Bài 3. Hàm số liên tục

HÀM SỐ LIÊN TỤC

Tải tài liệu

HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI 1 ĐIỂM

ĐỊNH NGHĨA 1

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[K\] và \[{{x}_{0}}\in K\]

Hàm số \[f(x)\] được gọi là liên tục tại \[{{x}_{0}}\] nếu \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)\]

Ví dụ: Xét tính liên tục của \[f\left( x \right)=\frac{x}{x-2}\] tại \[{{x}_{0}}=3\]

TXĐ: \[\left( -\infty ;2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\], \[\left( 2;+\infty \right)\supset {{x}_{0}}=3\]

\[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x-2}=3=f\left( 3 \right)\Rightarrow \] hàm số liên tục tại \[{{x}_{0}}=3\]

HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN 1 KHOẢNG

ĐỊNH NGHĨA 2

Hàm số \[f(x)\] được gọi là liên tục trên 1 khoảng nếu liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số \[f(x)\] được gọi là liên tục trên đoạn \[\left[ a;b \right]\] nếu nó liên tục trên khoảng \[\left( a;b \right)\] và

\[\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right),\,\,\,\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( b \right)\]

Hàm số liên tục trên nữa khoảng như \[\left( a;b \right];\,\,\left[ a;+\infty \right)…\] được định nghĩa tương tự

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Hàm đa thức liên tục trên \[\mathbb{R}\]

Hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng

Nếu \[f\left( x \right),g\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\] thì:

\[f\left( x \right)+g\left( x \right),f\left( x \right)-g\left( x \right),f\left( x \right).g\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\], \[\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\] cũng liên tục tại \[{{x}_{0}}\] nếu \[{{x}_{0}}\ne 0\]

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó: \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& \frac{2{{x}^{2}}-2x}{x-1}\,\,\,neu\,\,\,x\ne 1 \\& 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,x=1 \\\end{align} \right.\]

TXĐ: \[\mathbb{R}\]

Nếu \[x\ne 1\] thì \[f\left( x \right)=\frac{2{{x}^{2}}-2x}{x-1}\]. Hàm phân thức này liên tục trên mỗi khoảng \[\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)\] của nó

Nếu \[x=1\] ta có \[f\left( 1 \right)=5\]

\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-2x}{x-1}=2\]

Vì \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)\] nên hàm số đã cho không liên tục tại \[x=1\]

Kết luận: Hàm số liên tục trên \[\left( -\infty ;1 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)\] và gián đoạn tại \[x=1\]

Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ a;b \right]\] và \[f\left( a \right).f\left( b \right)<0\] thì tồn tại ít nhất 1 điểm \[c\in \left( a;b \right)\] sao cho \[f\left( c \right)=0\]

Ví dụ: Chứng minh \[{{x}^{3}}+2x-5=0\] có it nhất 1 nghiệm

Xét hàm \[f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x-5\]

\[f\left( 0 \right)=-5\]

\[f\left( 2 \right)=7\]

\[f\left( 0 \right).f\left( 2 \right)=-35<0\]

Hàm số \[f\left( x \right)\] là đa thức nên liên tục trên \[\mathbb{R}\] do đó nó liên tục trên \[\left[ 0;2 \right]\]

Suy ra \[f\left( x \right)=0\] có ít nhất 1 nghiệm \[{{x}_{0}}\in \left( 0;2 \right)\]

Bài tập giáo khoa

Câu 1. Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x-1\] tại \[{{x}_{0}}=3\]

Xem hướng dẫn

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

Câu 2a. Xét tính liên tục của hàm số \[y=g\left( x \right)\] tại \[{{x}_{0}}=2\], biết \[g\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{3}}-8}{x-2}\,\,\,neu\,\,\,x\ne 2 \\
& 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,x=2 \\
\end{align} \right.\]. Xem hướng dẫn

Câu 2b. Tìm \[a\] để  hàm số \[y=g\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}=2\], biết \[g\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{3}}-8}{x-2}\,\,\,neu\,\,\,x\ne 2 \\
& a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,x=2 \\
\end{align} \right.\]. Xem hướng dẫn

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

Câu 3. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& 3x+2\,\,\,neu\,\,\,x<-1 \\
& {{x}^{2}}-1\,\,\,\,\,neu\,\,\,x\ge -1 \\
\end{align} \right.\]

a) Vẽ đồ thị của \[y=f(x)\] và nếu nhận xét tính liên tục trên tập xác định của nó

b) Chứng minh nhận xét trên

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

Câu 4. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\frac{x+1}{{{x}^{2}}+x-6}\,\,\,\And \,\,\,g\left( x \right)=\tan x+\sin x\]. Xác định các khoảng trên đó các hàm đã cho liên tục

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

Câu 5. Ý kiến sau đúng hay sai?

Nếu hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục tại \[{{x}_{0}}\] còn hàm số \[y=g\left( x \right)\] không liên tục tại \[{{x}_{0}}\] thì \[f\left( x \right)+g\left( x \right)\] không liên tục tại \[{{x}_{0}}\]

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

Câu 6. Chứng minh phương trình:

a) \[2{{x}^{3}}-6x+1=0\] có ít nhất hai nghiệm

b) \[\cos x=x\] có nghiệm

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO DẠNG

DẠNG 1. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Câu 1. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}\,\,\,\And \,\,\,f\left( 2 \right)={{m}^{2}}-2\] với \[x\ne 2\]. Giá trị của \[m\] để \[f(x)\] liên tục tại \[x=2\] là

A. \[\sqrt{3}\] B. \[-\sqrt{3}\] C. \[\pm \sqrt{3}\] D. \[\pm 3\]

Câu 2. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-4}\]. Chọn câu đúng trong các câu sau: 

\[\left( I \right):f\left( x \right)\] liên tục tại \[x=2\]

\[\left( II \right):f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[x=2\]

\[\left( III \right):f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ -2;2 \right]\]

A. \[\left( I \right)\,\,\,\And \,\,\,\left( III \right)\] B. \[\left( I \right)\] C. \[\left( II \right)\] D. \[\left( II \right)\,\,\,\And \,\,\,\left( III \right)\]

Câu 3. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \sqrt{\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{3}}-x+6}}\,,\,\,x\ne 3;x\ne 2 \\
& b+\sqrt{3},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x=3;b\in R \\
\end{align} \right.\]. Tìm \[b\] để \[f(x)\] liên tục tại \[x=3\]

A. \[\sqrt{3}\] B. \[-\sqrt{3}\] C. \[\frac{2\sqrt{3}}{3}\] D. \[-\frac{2\sqrt{3}}{3}\]

Câu 4. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}\]. Chọn câu đúng trong các câu sau: 

\[\left( I \right):f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[x=1\]

\[\left( II \right):f\left( x \right)\] liên tục tại \[x=2\]

\[\left( III \right):\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{1}{2}\]

A. \[\left( I \right)\] B. \[\left( II \right)\] C. \[\left( I \right)\,\,\,\And \,\,\,\left( III \right)\] D. \[\left( II \right)\,\,\,\And \,\,\,\left( III \right)\]

Câu 5. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \frac{\sqrt{2x+8}-2}{\sqrt{x+2}},x>-2 \\
& 0,\,\,x=-2 \\
\end{align} \right.\]. Chọn câu đúng trong các câu sau: 

\[\left( I \right):\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\]

\[\left( II \right):f\left( x \right)\] liên tục tại \[x=-2\]

\[\left( III \right):f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[x=-2\]

A. \[\left( I \right)\,\,\And \,\,\left( III \right)\] B. \[\left( I \right)\,\,\And \,\,\left( II \right)\] C. \[\left( III \right)\] D. \[\left( I \right)\]

Câu 6. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \sqrt{4-{{x}^{2}}},\,\,\,-2\le x\le 2 \\
& 1,\,\,\,x>2 \\
\end{align} \right.\]. Chọn câu đúng trong các câu sau: 

\[\left( I \right):f\left( x \right)\] không xác định tại  tại \[x=3\]

\[\left( II \right):f\left( x \right)\] liên tục tại \[x=-2\]

\[\left( III \right):\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=2\]

A. \[\left( I \right)\] B. \[\left( I \right)\,\,\And \,\,\left( II \right)\] C. \[\left( I \right)\,\,\And \,\,\left( III \right)\] D. \[\left( I \right),\left( II \right),\left( III \right)\] sai

Câu 7. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \frac{\sin 5x}{5x},\,\,x\ne 0 \\
& a+2,\,\,x=0 \\
\end{align} \right.\]. Tìm \[a\] để \[f(x)\] liên tục tại \[x=0\]

A. \[1\] B. \[-1\] C. \[2\] D. \[-2\]

Câu 8. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& {{\left( x+1 \right)}^{2}},\,\,x>1 \\
& {{x}^{2}}+3,\,\,x<1 \\
& {{k}^{2}},\,\,x=1 \\
\end{align} \right.\]. Tìm \[k\] để \[f(x)\] gián đoạn tại \[x=1\]

A. \[k\ne \pm 2\] B. \[k\ne 2\] C. \[k\ne -2\] D. \[k\ne \pm 1\]

Câu 9. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\,\,\,khi\,\,x\ne 4 \\
& \frac{1}{4}\,\,\,khi\,\,x=4 \\
\end{align} \right.\]. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số liên tục tại \[x=4\]
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại \[x=4\]
C. Hàm số không liên tục tại \[x=4\]
D. Tất cả đều sai

Câu 10. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-3x+2}{\sqrt{x-1}}+2\,\,khi\,\,x>1 \\
& 3{{x}^{2}}+x-1\,\,khi\,\,x\le 1 \\
\end{align} \right.\]. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số liên tục tại \[x=1\]
B. Hàm số liên tục tại mọi điểm
C. Hàm số không liên tục tại \[x=1\]
D. Tất cả đều sai

…đang update…

DẠNG 2. TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH

Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

\[\left( I \right):f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\] liên tục trên \[\mathbb{R}\]

\[\left( II \right):f\left( x \right)=\frac{\sin x}{x}\] có giới hạn khi \[x\to 0\]

\[\left( III \right):f\left( x \right)=\sqrt{9-{{x}^{2}}}\] liên tục trên đoạn \[\left[ -3;3 \right]\]

A. \[\left( I \right)\,\,\And \,\,\left( II \right)\] B. \[\left( II \right)\,\,\And \,\,\left( III \right)\] C. \[\,\left( II \right)\] D. \[\,\left( III \right)\]

Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

\[\left( I \right):f\left( x \right)=\frac{\sqrt{x+1}}{x-1}\] liên tục với mọi \[x\] khác 1

\[\left( II \right):f\left( x \right)=\sin x\] liên tục trên tập số thực

\[\left( III \right):f\left( x \right)=\frac{\left| x \right|}{x}\] liên tục tại \[x=1\]

A. \[\left( I \right)\] B. \[\left( I \right)\] và \[\left( II \right)\] C. \[\left( I \right)\] và \[\left( III \right)\] D. \[\left( II \right)\] và \[\left( III \right)\]

Câu 3. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-3}{x-\sqrt{3}},x\ne \sqrt{3} \\
& 2\sqrt{3},x=\sqrt{3} \\
\end{align} \right.\]. Tìm khẳng định đúng.

\[\left( I \right):f\left( x \right)\] liên tục tại \[x=\sqrt{3}\]

\[\left( II \right):f\left( x \right)\] gián đoạn tại \[x=\sqrt{3}\]

\[\left( III \right):f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\]

A. \[\left( I \right),\left( II \right)\] B. \[\left( II \right),\left( III \right)\] C. \[\left( I \right),\left( III \right)\] D. \[\left( I \right),\left( II \right),\left( III \right)\]

Câu 4. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

\\[\left( I \right):f\left( x \right)={{x}^{5}}-{{x}^{2}}+1\] liên tục trên \[\mathbb{R}\]

\[\left( II \right):f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}}\] liên tục trên khoảng \[\left( -1;1 \right)\]

\[\left( III \right):f\left( x \right)=\sqrt{x-1}\] liên tục trên \[\left[ 2;+\infty \right)\]

A. \[\left( I \right)\] B. \[\left( I \right)\] và \[\left( II \right)\] C. \[\left( II \right)\] và \[\left( III \right)\] D. \[\left( I \right)\] và \[\left( III \right)\]

Câu 5. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \frac{3-\sqrt{9-x}}{x}\,,0<x<9 \\
& m\,\,\,\,\,\,,x=0 \\
& \frac{3}{x}\,\,\,\,\,\,,x\ge 9 \\
\end{align} \right.\]. Tìm \[m\] để \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ 0;+\infty ) \right.\]  là

A. \[\frac{1}{3}\] B. \[\frac{1}{2}\] C. \[\frac{1}{6}\] D. \[1\]

Câu 6. Cho hàm số\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}+5x+6}\]. Khi đó hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên các khoảng nào sau đây 

A. \[\left( -3;2 \right)\] B. \[\left( -2;+\infty \right)\] C. \[\left( -\infty ;3 \right)\] D. \[\left( 2;3 \right)\]

Câu 7. Cho hàm số\[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-5x+6}{2{{x}^{3}}-16}\,\,\,khi\,x<2 \\
& 2-x\,\,\,\,khi\,x\ge 2 \\
\end{align} \right.\]. Khẳng định nào sau đây đúng nhất

A. Hàm số liên tục trên \[\mathbb{R}\].

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm .

C. Hàm số không liên tục trên \[\left( 2;+\infty \right)\].

D. Hàm số gián đoạn tại điểm \[x=2\].

Câu 8. Cho hàm số\[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}\,\,\,khi\,x>1 \\
& \frac{\sqrt[3]{1-x}+2}{x+2}\,\,\,khi\,x\le 1 \\
\end{align} \right.\]. Khẳng định nào sau đây đúng nhất 

A. Hàm số liên tục trên \[\mathbb{R}\].

B. Hàm số không liên tục trên \[\mathbb{R}\].

C. Hàm số không liên tục trên \[\left( 1;+\infty \right)\].

D. Hàm số gián đoạn tại điểm \[x=1\].

Câu 9. Cho hàm số\[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& \frac{\tan x}{x}\,\,\,\,,x\ne 0\wedge x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \\
& 0\,\,\,\,\,,x=0 \\
\end{align} \right.\]. Hàm số \[y=f\left( x \right)\] liên tục trên các khoảng nào sau đây 

A. \[\left( 0;\frac{\pi }{2} \right)\] B. \[\left( -\infty ;\frac{\pi }{4} \right)\] C. \[\left( -\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4} \right)\] D. \[\left( -\infty ;+\infty \right)\]

Câu 10. Cho hàm số\[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& {{a}^{2}}{{x}^{2}}\,\,\,\,\,,x\le \sqrt{2},a\in \mathbb{R} \\
& \left( 2-a \right){{x}^{2}}\,\,\,,x>\sqrt{2} \\
\end{align} \right.\]. Gia trị của \[a\] để \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] là: 

A. \[1\] và \[2\] B. \[1\] và \[-1\] C. \[-1\] và \[2\] D. \[1\] và \[-2\]

 

 

…đang update…

DẠNG 3. ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I. \[f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ a;b \right]\] và \[f\left( a \right).f\left( b \right)<0\] thì phương trình \[f\left( x \right)=0\] có nghiệm.

II. \[f\left( x \right)\] không liên tục trên \[\left[ a;b \right]\] và \[f\left( a \right).f\left( b \right)\ge 0\] thì phương trình \[f\left( x \right)=0\] vô nghiệm.

A. Chỉ I đúng.  B. Chỉ II đúng.  C. Cả I và II đúng.  D. Cả I và II sai.

Câu 2. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

I. \[f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ a;b \right]\] và \[f\left( a \right).f\left( b \right)>0\] thì tồn tại ít nhất một số \[c\in \left( a;b \right)\] sao cho \[f\left( c \right)=0\]

II. \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left( a;b \right]\] và \[\left[ b;c \right)\] nhưng không liên tục trên \[\left( a;c \right)\]

A. Chỉ I đúng.  B. Chỉ II đúng.  C. Cả I và II đúng.  D. Cả I và II sai.

Câu 3. Cho hàm số \[f\left( x \right)={{x}^{3}}-1000{{x}^{2}}+0,01\]. Phương trình \[f\left( x \right)=0\] có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

\[I.\,\left( -1;0 \right);\,\,II.\left( 0;1 \right);\,\,III.\left( 1;2 \right)\]

A. Chỉ I đúng.  B. Cả I và II đúng. C. Chỉ II đúng. D. Chỉ III

Câu 4. Phương trình \[3{{x}^{5}}+5{{x}^{3}}+10=0\] có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?

A. \[\left( -2;1 \right)\] B. \[\left( -1;0 \right)\] C. \[\left( 0;1\right)\] D. \[\left( -10;-2 \right)\]

Câu 5. Phương trình \[{{x}^{7}}+3{{x}^{5}}-1=0\] có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?

A. \[\left( 0;1 \right)\] B. \[\left( 2;3 \right)\] C. \[\left( 3;5\right)\] D. \[\left( 5;9 \right)\]

…đang update…

Quét mã code thường xuyên để cập nhật bài mới

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *