Home / Chương 1 - Hàm Số / BÀI 3 – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

BÀI 3 – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tải tài liệu tại đây

Định nghĩa:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên tập \[D\].

Số \[M\] được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[D\] nếu \[f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in D\] và tồn tại \[{x_0} \in D\] sao cho \[f\left( {{x_0}} \right) = M\].

Kí hiệu: \[\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = M\].

Số \[m\] được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[D\] nếu \[f\left( x \right) \ge m\,\,\forall x \in D\] và tồn tại \[{x_0} \in D\] sao cho \[f\left( {{x_0}} \right) = m\].

Kí hiệu: \[\mathop {\max }\limits_D f\left( x \right) = m\].

Cách tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn:

Định lí:

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]:

Tính đạo hàm

Tìm các điểm \[{x_1},{x_2}…{x_i}\] \[ \in \left( {a;b} \right)\] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Tính \[f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right)…,f\left( {{x_i}} \right),f\left( b \right)\]

Tìm số lớn nhất \[M\] và số nhỏ nhất \[m\] trong các số trên và kết luận

\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = M,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = m\]

Chú ý:

Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng đó

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = x – 5 + \frac{1}{x}\] trên khoảng \[\left( {0; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1 \notin \left( {0; + \infty } \right)\\x = 1\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x – 5 + \frac{1}{x}} \right) = + \infty \]

\[f\left( 1 \right) = – 3\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x – 5 + \frac{1}{x}} \right) = + \infty \]

Hàm số không có giá trị lớn nhất.  \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = – 3\]

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^3} – 3{x^2} – 9x + 35\] trên các đoạn \[\left[ { – 4;4} \right]\] và \[\left[ {0;5} \right]\]

\[y’ = 3{x^2} – 6x – 9\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 3\end{array} \right.\]

Xét trên đoạn \[\left[ { – 4;4} \right]\]:

\[y\left( { – 4} \right) = – 41;y\left( { – 1} \right) = 40;y\left( 3 \right) = 8;y\left( 4 \right) = 15\]

\[\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 4;4} \right]} f\left( x \right) = 40\,\,khi\,\,x = – 1\]

\[\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 4;4} \right]} f\left( x \right) = – 41\,\,khi\,\,x = – 4\]

Xét trên đoạn \[\left[ {0;5} \right]\]:

\[y\left( 0 \right) = 35;y\left( 3 \right) = 8;y\left( 5 \right) = 40\]

\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = 40\,\,khi\,\,x = 5\]

\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = 8\,\,khi\,\,x = 3\]

Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^4} – 3{x^2} + 2\] trên các đoạn \[\left[ {0;3} \right]\] và \[\left[ {2;5} \right]\]

\[y’ = 4{x^3} – 6x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt {\frac{3}{2}} \end{array} \right.\]

Xét trên đoạn \[\left[ {0;3} \right]\]:

\[y\left( 0 \right) = 2;y\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right) = – \frac{1}{4};y\left( 3 \right) = 56\]

\[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = 56\,\,khi\,\,x = 3\]

\[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = – \frac{1}{4}\,\,khi\,\,x = \sqrt {\frac{3}{2}} \]

Xét trên đoạn \[\left[ {2;5} \right]\]: bạn đọc tự làm

Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \frac{{2 – x}}{{1 – x}}\] trên các đoạn \[\left[ {2;4} \right]\] và \[\left[ {-3;-2} \right]\]

Tập xác định \[D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\]

\[y’ = \frac{1}{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne 1\] \[ \Rightarrow \] hàm số đồng biến trên \[D\]

Xét trên đoạn \[\left[ {2;4} \right]\]: \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = y\left( 2 \right) = 0\]; \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = y\left( 4 \right) = \frac{2}{3}\]

Xét trên đoạn \[\left[ {-3;-2} \right]\]: \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 3; – 2} \right]} y = y\left( { – 3} \right) = \frac{5}{4}\]; \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 3; – 2} \right]} y = y\left( { – 2} \right) = \frac{4}{3}\]

Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \sqrt {5 – 4x} \] trên các đoạn \[\left[ {-1;1} \right]\]

Tập xác định: \[\left( { – \infty ;\frac{5}{4}} \right)\] (chú ý đạo hàm)

\[y’ = \frac{{ – 2}}{{\sqrt {5 – 4x} }} < 0\,\,\forall x \in \left( { – \infty ;\frac{5}{4}} \right) \Rightarrow \] hàm số nghịch biến trên \[\left( { – \infty ;\frac{5}{4}} \right) \supset \left[ { – 1;1} \right]\]

\[ \Rightarrow \] \[\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = y\left( { – 1} \right) = 3\]; \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} y = y\left( 1 \right) = 1\]

Ví dụ 6. Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi 16 cm. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

Gọi \[x\] là chiều rộng, \[y\] là chiều dài hình chữ nhật, \[x,y \in \left( {0;8} \right)\]

Nữa chu vi hình chữ nhật: \[x + y = 8 \Rightarrow y = 8 – x\]

Diện tích hình chữ nhật: \[S = \left( {8 – x} \right)x = – {x^2} + 8x\]

Xét hàm số \[S = – {x^2} + 8x\] trên \[\left( {0;8} \right)\]

\[S’ = – 2x + 8;\,\,\,S’ = 0 \Leftrightarrow x = 4\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left( {0;8} \right)} S = S\left( 4 \right) = 16\]

Vậy hình chữ nhật có cạnh \[x=4,y=4\] có diện tích lớn nhất

Ví dụ 7. Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích \[48{m^2}\]. Tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất

Gọi \[x,y\] lần lượt là chiều dài và rộng của hình chữ nhật (\[x>0;y>0\])

Có \[x.y=48\]\[ \Rightarrow y = \frac{{48}}{x}\]

Chu vi hình chữ nhật: \[P = 2\left( {x + \frac{{48}}{x}} \right) = 2x + \frac{{96}}{x}\]

Xét hàm số \[P = 2x + \frac{{96}}{x}\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]

\[P’ = 2 – \frac{{96}}{{{x^2}}}\]

\[P’ = 0 \Leftrightarrow 2 – \frac{{96}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\sqrt 3 \\x = – 4\sqrt 3 \end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

\[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} P = P\left( {4\sqrt 3 } \right) = 16\sqrt 3 \]

Với \[x = 4\sqrt 3 \Rightarrow y = 4\sqrt 3 \] suy ra hình vuông có cạnh \[4\sqrt 3 \] có chu vi nhỏ nhất

Ví dụ 8. Tính giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \frac{4}{{1 + {x^2}}}\]

Tập xác định: \[D=R\]

\[y’ = \frac{{ – 8x}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}}}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow – 8x = 0 \Leftrightarrow x = 0\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT thấy giá trị lớn nhất bằng 4 khi \[x=0\]

Ví dụ 9. Tính giá trị lớn nhất của hàm số \[y = 4{x^3} – 3{x^4}\]

Tập xác định: \[D=R\]

\[y’ = 12{x^2} – 12{x^3}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} – 12{x^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có GTLN là \[1\] khi \[x=1\]

Ví dụ 10. Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \left| x \right|\]

\[y = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,khi\,\,x \ge 0\\- x\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\]

\[y’ = \left\{ \begin{array}{l}1\,\,khi\,\,x > 0\\- 1\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy GTNN là \[0\] tại \[x=0\]

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CŨNG CỐ KIẾN THỨC

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

About TranVinhTri

Thích đủ thứ