Bài 2. Tích phân

TÍCH PHÂN

Tải tài liệu

KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

Có thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa.

Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn và đã biết cách tính diện tích như hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật…

Xét một hình phức tạp hơn mà nó được bao bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, kết quả có thêm các hình thang cong. Tích phân giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó.

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN

Cho hàm \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\]. Giả sử \[F\left( x \right)\] là 1 nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên \[\left[ {a;b} \right]\]

\[F\left( b \right) – F\left( a \right)\] \[\left( {F\left( x \right)|_a^b} \right)\] được gọi là tích phân từ \[a\] đến \[b\] của \[f(x)\]

Kí hiệu: \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \]

Vậy \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) – F\left( a \right)} \]

Chú ý:

\[\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx = 0} ;\,\,\,\,\,\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = } – \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \]

Tích phân chỉ phụ thuộc vào các cận \[a,b\] mà không phụ thuộc biến số \[x\] hay \[t\]

Ý nghĩa hình học của tích phân là diện tích hình thang cong bị giới hạn bởi đồ thị của \[f(x)\], trục \[Ox\] và hai đường thẳng \[x=a,x=b\]

TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

\[\int\limits_a^b {k.f\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \,\,\,\left( {k\,\,la\,\,hang\,\,so} \right)\]

\[\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \pm \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} \]

\[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \,\,\,\,\,\left( {a < c < b} \right)\]

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

 Phương pháp đổi biến số

Cho hàm \[f(x)\] liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\].

Giả sử  hàm \[x = \varphi \left( t \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[{\left[ {\alpha ;\beta } \right]^{\left( * \right)}}\] sao cho

\[\varphi \left( \alpha \right) = a,\,\,\varphi \left( \beta \right) = b\,\,\,\,\& \,\,\,\,a \le \varphi \left( t \right) \le b\,\,\,\,\forall t \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]\]

Khi đó: \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_\alpha ^\beta {f\left( {\varphi \left( t \right)} \right).\varphi ‘\left( t \right)dt} \]

Ví dụ: Tính \[\int\limits_0^1 {\frac{x}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}dx} \]

Đặt \[u = 1 + {x^2} \Rightarrow du = 2xdx\]

Đổi cận \[x = 0 \Rightarrow u = 1;\,\,\,\,x = 1 \Rightarrow u = 2\]

\[\int\limits_0^1 {\frac{x}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^3}}}dx} \]\[ = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{u^3}}}du} \]\[ = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {{u^{ – 3}}du} \]\[ = \frac{1}{2}.\frac{{{u^{ – 2}}}}{{ – 2}}\]\[ = \left. {\frac{1}{2}.\frac{{{u^{ – 2}}}}{{ – 2}}} \right|_1^2 = \frac{3}{{16}}\]

Phương pháp từng phần

Nếu hai hàm \[u = u\left( x \right),\,\,v = v\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\] thì

\[\int\limits_a^b {u\left( x \right)v’\left( x \right)dx = \left. {\left( {u\left( x \right).v\left( x \right)} \right)} \right|_a^b} – \int\limits_a^b {u’\left( x \right).v\left( x \right)dx} \] Hay \[\int\limits_a^b {udv = \left. {uv} \right|_a^b} – \int\limits_a^b {vdu} \]

Ví dụ: Tính \[I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\sin xdx} \]

Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \sin xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = – \cos x
\end{array} \right.\]

\[{I = \left. {x.\left( { – \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { – \cos x} \right)dx} }\]

Bài tập giáo khoa

Bài 1. Tính các tích phân

a) \[\int\limits_{ – 1/2}^{1/2} {\sqrt[3]{{{{\left( {1 – x} \right)}^2}}}dx} \]          b) \[\int\limits_0^{\pi /2} {\sin \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)dx} \]          c) \[\int\limits_{1/2}^2 {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} \]

d) \[\int\limits_0^2 {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx} \]          e) \[\int\limits_{1/2}^2 {\frac{{1 – 3x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \]          g) \[\int\limits_{ – \pi /2}^{\pi /2} {\sin 3x.\cos 5xdx} \]

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 2. Tính các tích phân

a) \[\int\limits_0^2 {\left| {1 – x} \right|dx} \]          b) \[\int\limits_0^{\pi /2} {{{\sin }^2}xdx} \]          c) \[\int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}dx} \]          d) \[\int\limits_0^\pi {\sin 2x.{{\cos }^2}xdx} \]

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 3. Tính các tích phân

a) \[\int\limits_0^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}dx} \]          b) \[\int\limits_0^1 {\sqrt {1 – {x^2}} dx} \]          c) \[\int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}\left( {1 + x} \right)}}{{1 + x{e^x}}}dx} \]          d) \[\int\limits_0^{a/2} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} – {x^2}} }}dx\,\,\left( {a > 0} \right)} \]

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 4. Tính các tích phân

a) \[\int\limits_0^{\pi /2} {\left( {x + 1} \right)\sin xdx} \]          b) \[\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx} \]          c) \[\int\limits_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx} \]          d) \[\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} – 2x – 1} \right){e^{ – x}}dx} \]

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 5. Tính các tích phân

a) \[\int\limits_0^1 {{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{3}{2}}}dx} \]          b) \[\int\limits_0^{1/2} {\frac{{{x^3} – 1}}{{{x^2} – 1}}dx} \]          c) \[\int\limits_1^2 {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^2}}}dx} \]

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 6. Tính \[\int\limits_0^1 {x{{\left( {1 – x} \right)}^5}dx} \] bằng hai phương pháp

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG

DẠNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM

Câu 1: Cho hàm số \[y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\] và số thực \[k\] tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = – \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} } \]

C. \[\int\limits_a^a {kf\left( x \right)dx = 0} \]

B. \[\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \]

D. \[\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} } } \]

Câu 2: Khẳng định nào sau đây sai?

A. \[\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } } \]

C. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} } \]

B. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} } } \]

D. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = \int\limits_b^a {f\left( t \right)dt} } \]

Câu 3: Cho hai số thực \[a,b\] tùy ý, \[F(x)\] là một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] trên tập \[R\]. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = f\left( b \right) – f\left( a \right)} \]

C. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = F\left( a \right) – F\left( b \right)} \]

B. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = F\left( b \right) – F\left( a \right)} \]

D. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = F\left( b \right) + F\left( a \right)} \]

Câu 4: Cho \[f\left( x \right)\] là hàm số liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] và \[c \in \left[ {a;b} \right]\]. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A. \[\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} } \]

C. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx – \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_c^c {f\left( x \right)dx} } \]

B. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} } \]

D. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_c^a {f\left( x \right)dx} = \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} } \]

Câu 5: Cho \[f\left( x \right)\] là hàm số liên tục trên khoảng \[K\] và \[a,b,c\] thuộc \[K\]. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} } \]

C. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = – \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} } \]

B. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx + \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} } \]

D. \[\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx = 0} \]

Câu 6: Cho \[f\left( t \right)\] là hàm số liên tục trên khoảng \[K\] và \[a,b\] thuộc \[K\]. \[F(t)\] là một nguyên hàm của \[f(t)\]. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A. \[F\left( a \right) – F\left( b \right) = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \]

C. \[\int\limits_a^b {f\left( t \right)dt = \left. {\left( {\int {f\left( t \right)dx} } \right)} \right|_a^b} \]

B. \[\int\limits_a^b {f\left( t \right)dt = \left. {F\left( t \right)} \right|_a^b} \]

D. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} } \]

Câu 7: Cho \[f\left( x \right)\] là hàm số liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\]. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} } \]

C. \[\int\limits_a^b {kdx = k\left( {a – b} \right),\,\,\forall k \in R} \]

B. \[\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx = – \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} } \]

D. \[\int\limits_a^b {kdx = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} ,\forall c \in \left( {a;b} \right)} } \]

Câu 8: Cho \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f(x)\]. Khi đó \[F\left( 0 \right) – F\left( 1 \right)\] là

A. \[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \] B. \[\int\limits_0^1 { – F\left( x \right)dx} \] C. \[\int\limits_0^1 {F\left( x \right)dx} \] D. \[\int\limits_0^1 { – f\left( x \right)dx} \]

Câu 9: Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\], có đồ thị \[y = f’\left( x \right)\] như hình vẽ. Mệnh đề nào đúng:

A. \[\int\limits_a^b {f’\left( x \right)dx} \] là diện tích hình thang \[ABMN\]

C. \[\int\limits_a^b {f’\left( x \right)dx} \] là độ dài đoạn \[MN\]

B. \[\int\limits_a^b {f’\left( x \right)dx} \] là độ dài đoạn \[BP\]

D. \[\int\limits_a^b {f’\left( x \right)dx} \] là độ dài đoạn cong \[AB\]

Câu 10: Cho hai tích phân \[\int\limits_{ – a}^a {f\left( x \right)dx = m} \] và \[\int\limits_{ – a}^a {g\left( x \right)dx = n} \]. Giá trị của tích phân \[\int\limits_{ – a}^a {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]dx} \] là

A. \[m – n\] B. \[n – m\] C. \[-m – n\] D. Không xác định

Câu 11: Cho \[\int\limits_{ – 2}^1 {f\left( x \right)dx = 3} \]. Tính \[\int\limits_{ – 2}^1 {\left[ {2f\left( x \right) – 1} \right]dx} \]

A. \[-9\] B. \[-3\] C. \[3\] D. \[5\]

Câu 12: Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ {2;3} \right]\] đồng thời \[f\left( 2 \right) = 2,f\left( 3 \right) = 5\]. Tính \[\int\limits_2^3 {f’\left( x \right)dx} \] bằng

A. \[-3\] B. \[7\] C. \[10\] D. \[3\]

Câu 13: Cho \[\int\limits_a^b {f’\left( x \right)dx = 7} ,f\left( b \right) = 5\]. Khi đó \[f\left( a \right)\] bằng

A. \[12\] B. \[0\] C. \[2\] D. \[-2\]

Câu 14: Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] và \[f\left( a \right) = – 2,f\left( b \right) = – 4\]. Tính \[T = \int\limits_a^b {f’\left( x \right)dx} \]

A. \[T = – 6\] B. \[T = 2\] C. \[T =  6\] D. \[T = – 2\]

Câu 15: Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\] và \[f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) = 2\]. Tính \[\int\limits_0^1 {f’\left( x \right)dx} \]

A. \[-1\] B. \[1\] C. \[2\] D. \[0\]

ĐANG UPDATE…

DẠNG ĐỔI BIẾN HÀM ĐA THỨC VÀ HỮU TỈ

Câu 1: Tính tích phân \[I = \int\limits_1^3 {x{{\left( {x – 1} \right)}^{1000}}dx} \]

A. \[I = \frac{{{{2003.2}^{1002}}}}{{1003002}}\] B. \[I = \frac{{{{1502.2}^{1001}}}}{{501501}}\] C. \[I = \frac{{{{3005.2}^{1002}}}}{{1003002}}\] D. \[I = \frac{{{{2003.2}^{1001}}}}{{501501}}\]

Câu 2: Giá trị của tích phân \[\int\limits_0^{100} {x\left( {x – 1} \right)…\left( {x – 100} \right)dx} \] bằng

A. \[0\] B. \[1\] C. \[100\] D. một giá trị khác

Câu 3: Tích phân \[\int\limits_0^2 {\frac{x}{{{x^2} + 3}}dx} \] bằng 

A. \[\frac{1}{2}\log \frac{7}{3}\] B. \[\ln \frac{7}{3}\] C. \[\frac{1}{2}\ln \frac{7}{3}\] D. \[\frac{1}{2}\ln \frac{3}{7}\]

Câu 4: Cho tích phân \[I = \int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{{x^5} + {x^3}}} = a\ln \frac{5}{8} + b} \]. Khi đó \[a + 2b\] bằng 

A. \[\frac{5}{2}\] B. \[\frac{5}{4}\] C. \[\frac{5}{8}\] D. \[\frac{5}{{16}}\]

Câu 5: Tích phân \[I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^5}dx}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)}}} \] được kết quả \[I = a\ln 2 – b\]. Giá trị \[a + b\] là:

A. \[\frac{3}{{16}}\] B. \[\frac{{13}}{{16}}\] C. \[\frac{{14}}{{17}}\] D. \[\frac{4}{{17}}\]

Câu 6: Tích phân \[I = \int\limits_{ – 1}^0 {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} dx\] có giá trị là: 

A. \[I = \ln 3\] B. \[I = – \ln 2\] C. \[I = – \ln 3\] D. \[I = \ln 2\]

Câu 7: Cho \[\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{{x^3} + 1}}dx = \frac{1}{3}\ln a} \], \[a\] là các số hữu tỉ. Giá trị của \[a\] là:

A. \[2\] B. \[3\] C. \[4\] D. \[5\]

Câu 8: Tích phân \[\int\limits_{ – 1}^0 {\frac{{ax}}{{a{x^2} + 2}}dx} \] với \[a \ne – 2\] có giá trị là

A. \[I = \frac{{\ln 2 + \ln \left| {a + 2} \right|}}{2}\]

C. \[I = \frac{{ – \ln 2 – \ln \left| {a + 2} \right|}}{2}\]

B. \[I = \frac{{\ln 2 – \ln \left| {a + 2} \right|}}{2}\]

D. \[I = \frac{{ – \ln 2 + \ln \left| {a + 2} \right|}}{2}\]

Câu 9: Giả sử \[ \to \int\limits_3^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} – x}}} = a\ln 5 + b\ln 3 + c\ln 2.\left( {a,b,c \in \mathbb{Z}} \right)\int\limits_3^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} – x}}} = a\ln 5 + b\ln 3 + c\ln 2\]. Tính giá trị biểu thức \[S = – 2a + b + 3{c^2}\]

A. \[3\] B. \[6\] C. \[0\] D. \[-2\]

Câu 10: Biết \[\int\limits_0^1 {\frac{{2{x^2} + 3x + 3}}{{{x^2} + 2x + 1}}} dx = a – \ln b\] với \[a,b\] là các số nguyên dương. Tính \[P = {a^2} + {b^2}\]: 

A. \[13\] B. \[5\] C. \[4\] D. \[10\]

đang update…

DẠNG ĐỔI BIẾN HÀM VÔ TỈ

Câu 1: Cho tích phân \[\int\limits_0^1 {\sqrt[3]{{1 – x}}dx} \] với cách đặt \[t = \sqrt[3]{{1 – x}}dx\] thì tích phân đã cho bằng tích phân nào sau đây

A. \[3\int\limits_0^1 {tdt} \] B. \[\int\limits_0^1 {{t^3}dt} \] C. \[3\int\limits_0^1 {{t^2}dt} \] D. \[3\int\limits_0^1 {{t^3}dt} \]

Câu 2: Trong các tích phân sau, tích phân nào có cùng giá trị với \[\int\limits_1^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} – 1} dx} \]

A. \[\frac{1}{2}\int\limits_1^2 {t\sqrt {t – 1} dt} \] B. \[\int\limits_1^4 {t\sqrt {t – 1} dt} \] C. \[\int\limits_0^{\sqrt 3 } {\left( {{t^2} + 1} \right){t^2}dt} \] D. \[\int\limits_1^{\sqrt 3 } {\left( {{x^2} + 1} \right){x^2}dx} \]

Câu 3. Nếu \[\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx = \int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} } \] với \[t = \sqrt {1 + x} \] thì \[f(t)\] là hàm số nào trong các hàm số dưới đây

A. \[f\left( t \right) = 2{t^2} + 2t\] B. \[f\left( t \right) = {t^2} – t\] C. \[f\left( t \right) = {t^2} + t\] D. \[f\left( t \right) = 2{t^2} – 2t\]

Câu 4. Kết quả của \[\int\limits_0^4 {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} \] bằng

A. \[4\] B. \[5\] C. \[2\] D. \[3\]

Câu 5. Kết quả của \[\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {3x + 1} }}} \] bằng

A. \[\frac{4}{3}\] B. \[\frac{3}{2}\] C. \[\frac{1}{3}\] D. \[\frac{2}{3}\]

Câu 6. Cho \[\int\limits_0^3 {\frac{{xdx}}{{4 + 2\sqrt {x + 1} }}} = \frac{a}{3} + b\ln 2 + c\ln 3\] với \[a,b,c\] là các số nguyên. Tính \[a+b+c\]

A. \[1\] B. \[2\] C. \[7\] D. \[9\]

Câu 7. Cho \[\int\limits_1^4 {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} – 5}}dx} = a + b\ln 2\] với \[a,b\] là các số nguyên. Tính \[a+b\]

A. \[3\] B. \[-3\] C. \[5\] D. \[7\]

Câu 8. Cho \[\int\limits_1^5 {\frac{{dx}}{{x\sqrt {3x + 1} }}} = a\ln 3 + b\ln 5\] với \[a,b\] là các số nguyên. Tính \[{a^2} + ab + 3{b^2}\]

A. \[4\] B. \[5\] C. \[1\] D. \[0\]

Câu 9. Cho \[\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{3 + \sqrt {2x + 1} }}} = a + b\ln \frac{2}{3},\,\,\left( {a,b \in Z} \right)\]. Mệnh đề nào sau đây đúng

A. \[a – b = 3\] B. \[a – b = 5\] C. \[a + b = 5\] D. \[a + b = 3\]

Câu 10. Cho \[\int\limits_0^{\sqrt 3 } {x\sqrt {{x^2} + 1} dx} = \frac{2}{3}\left( {a – \sqrt b } \right),\,\,\left( {a,b \in {Z^*}} \right)\]. Mệnh đề nào sau đây đúng

A. \[a = 2b\] B. \[a < b\] C. \[a = b\] D. \[a = 3b\]

đang update…

DẠNG ĐỔI BIẾN HÀM LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. \[\int\limits_0^1 {\sin \left( {1 – x} \right)dx = \int\limits_0^1 {\sin xdx} } \]

C. \[\int\limits_0^\pi {\cos \frac{x}{2}dx = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos xdx} } \]

B. \[\int\limits_0^1 {\cos \left( {1 – x} \right)dx = – \int\limits_0^1 {\cos xdx} } \]

D. \[\int\limits_0^\pi {\sin \frac{x}{2}dx = \int\limits_0^{\pi /2} {\sin xdx} } \]

Câu 2. Tính tích phân \[\int\limits_0^{\pi /3} {\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}dx} \]

A. \[\frac{5}{2}\] B. \[\frac{3}{2}\] C. \[\frac{\pi }{3} + \frac{9}{{20}}\] D. \[\frac{9}{4}\]

Câu 3. Cho \[I = \int\limits_0^{\pi /3} {{{\sin }^2}x\tan xdx = \ln a – \frac{b}{8}} \]. Chọn mệnh đề đúng

A. \[a+b=4\] B. \[a – b = 2\] C. \[ab = 6\] D. \[{a^b} = 4\]

Câu 4. Biết \[{I_1} = \int\limits_{ – \frac{\pi }{4}}^0 {\frac{1}{{1 + \cos 2x}}dx = a} \] và \[{I_2} = \int\limits_{ – 1}^0 {\sqrt[3]{{x + 2}}dx = b\sqrt[3]{2}} – \frac{3}{4}\], \[\left( {a,b \in Q} \right)\]. Thương số giữa \[a\] và \[b\] là

A. \[\frac{1}{2}\] B. \[\frac{1}{3}\] C. \[\frac{3}{4}\] D. \[\frac{2}{3}\]

Câu 5. Cho \[I = \int\limits_0^{\pi /a} {\frac{{\cos 2x}}{{1 + 2\sin 2x}}dx = \frac{1}{4}\ln 3} \]. Tìm \[a\]

A. \[3\] B. \[2\] C. \[4\] D. \[6\]

Câu 6. Biết \[{I_1} = \int\limits_0^{\pi /4} {\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx = a} ,\,\,{I_2} = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + \sqrt x } \right)dx = \left. {\left( {b{x^3} + c{x^{\frac{1}{3}}}} \right)} \right|_0^1} \], \[\left( {a,b \in Q} \right)\]. Giá trị của \[a+b+c\] là

A. \[1\] B. \[2\] C. \[3\] D. \[0\]

Câu 7: Tính \[I = \int\limits_0^{\pi /3} {\frac{{\sin 2x}}{{\cos x + \cos 3x}}dx} \]

A. \[I = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {\ln \frac{{\sqrt 2 – 2}}{{\sqrt 2 + 2}} + \ln \frac{{\sqrt 2 – 1}}{{\sqrt 2 + 1}}} \right)\]

C. \[I = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {\ln \frac{{\sqrt 2 – 2}}{{\sqrt 2 + 2}} – \ln \frac{{\sqrt 2 – 1}}{{\sqrt 2 + 1}}} \right)\]

B. \[I = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {\ln \frac{{\sqrt 2 – 2}}{{\sqrt 2 + 2}} – \ln \frac{{\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 – 1}}} \right)\]

D. \[I = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {\ln \frac{{\sqrt 2 + 2}}{{\sqrt 2 – 2}} – \ln \frac{{\sqrt 2 – 1}}{{\sqrt 2 + 1}}} \right)\]

Câu 8: Tính \[I = \int\limits_{\pi /4}^{\pi /2} {\frac{{2x + \cos x}}{{{x^2} + \sin x}}dx} \]

A. \[I = \ln \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{4} – 1} \right) – \ln \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]

C. \[I = \ln \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{4} – 1} \right) + \ln \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]

B. \[I = \ln \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{4} + 1} \right) – \ln \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]

D. \[I = \ln \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{4} + 1} \right) + \ln \left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\]

Câu 9. Cho \[\int\limits_0^{\pi /4} {\sin 2x\ln \left( {\tan x + 1} \right)dx = a\pi + b\ln 2 + c,\left( {a,b \in Q} \right)} \]. Tính \[T = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} – c\]

A. \[T = 2\] B. \[T = 4\] C. \[T = 6\] D. \[T = -4\]

Câu 10. Xét tích phân \[I = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt {1 + \cos x} }}dx} \]. Nếu đặt \[t = \sqrt {1 + \cos x} \], khẳng định nào đúng

A. \[\int\limits_{\sqrt 2 }^1 {\frac{{4{t^3} – 4t}}{t}dt} \] B. \[\int\limits_{\sqrt 2 }^1 {\frac{{ – 4{t^3} + 4t}}{t}dt} \] C. \[\int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{t^2} – 1} \right)dt} \] D. \[ – 4\int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{t^2} – 1} \right)dt} \]

Đang update…

DẠNG ĐỔI BIẾN HÀM MŨ, LÔGARIT

Câu 1. Cho \[I = \int\limits_0^1 {x{e^{1 – {x^2}}}dx = \frac{{ae – b}}{2}} \]. Khi đó \[a+b\] bằng

A. \[1\] B. \[0\] C. \[2\] D. \[4\]

Câu 2. Nguyên hàm \[f\left( x \right) = \sin 2x.{e^{{{\sin }^2}x}}\] là

A. \[{\sin ^2}x.{e^{{{\sin }^2}x – 1}} + C\] B. \[\frac{{{e^{{{\sin }^2}x + 1}}}}{{{{\sin }^2}x + 1}} + C\] C. \[{{e^{{{\sin }^2}x}} + C}\] D. \[\frac{{{e^{{{\sin }^2}x – 1}}}}{{{{\sin }^2}x – 1}} + C\]

Câu 3. Biết \[\int\limits_0^1 {3{e^{\sqrt {1 + 3x} }}dx = \frac{a}{5}{e^2} + \frac{b}{3}e + c\left( {a,b,c \in Z} \right)} \]. Tính \[T = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3}\]

A. \[T = 6\] B. \[T = 9\] C. \[T = 10\] D. \[T = 5\]

Câu 4. Tính \[I = \int\limits_{\ln 5}^{\ln 12} {\sqrt {{e^x} + 4} dx} \]

A. \[I = 2 – \ln 3 + \ln 5\]

C. \[I = 2 – 2\ln 3 + \ln 5\]

B. \[I = 2 – 2\ln 3 + 2\ln 5\]

D. \[I = 2 – \ln 3 + 2\ln 5\]

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị dương của tham số \[m\] sao cho \[\int\limits_0^m {x{e^{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx = {2^{500}}.{e^{\sqrt {{m^2} + 1} }}} \]

A. \[m = {2^{250}}\sqrt {{2^{500}} – 2} \] B. \[m = \sqrt {{2^{1000}} + 1} \] C. \[m = {2^{250}}\sqrt {{2^{500}} + 2} \] D. \[m = \sqrt {{2^{1000}} – 1} \]

Câu 6. Cho \[\int\limits_0^3 {{e^{\sqrt {x + 1} }}\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 1} }}} = a{e^2} + be + c\]. Với \[a,b,c \in Z\]. Tính \[S = a + b + c\]

A. \[S = 1\] B. \[S = 2\] C. \[S = 0\] D. \[S = 4\]

Câu 7. Cho tích phân \[I = \int\limits_0^{\pi /2} {{e^{{{\sin }^2}x}}\sin x.{{\cos }^3}xdx} \]. Nếu đổi biến số \[t = {\sin ^2}x\]

A. \[I = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_0^1 {{e^t}dt + \int\limits_0^1 {t{e^t}dt} } } \right]\]

C. \[I = 2\left[ {\int\limits_0^1 {{e^t}dt + \int\limits_0^1 {t{e^t}dt} } } \right]\]

B. \[I = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_0^1 {{e^t}dt – \int\limits_0^1 {t{e^t}dt} } } \right]\]

D. \[I = 2\left[ {\int\limits_0^1 {{e^t}dt – \int\limits_0^1 {t{e^t}dt} } } \right]\]

Câu 8. Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_n^{n + 1} {\frac{{dx}}{{1 + {e^x}}}} \]

A. \[- 1\] B. \[1\] C. \[e\] D. \[0\]

Câu 9. Tính \[I = \int\limits_{ – 2}^2 {\frac{{{x^{2016}}}}{{{e^x} + 1}}dx} \]

A. \[0\] B. \[\frac{{{2^{2018}}}}{{2017}}\] C. \[\frac{{{2^{2017}}}}{{2017}}\] D. \[\frac{{{2^{2018}}}}{{2018}}\]

Câu 10. Cho biết tích phân \[\int\limits_0^{\ln 6} {\frac{{{e^x}}}{{1 + \sqrt {{e^x} + 3} }}dx = a + b\ln 2 + c\ln 3,\left( {a,b,c \in Z} \right)} \]. Tính \[T = a + b + c\]

A. \[-1\] B. \[0\] C. \[2\] D. \[1\]

DẠNG TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

DẠNG 1:

Câu 1. Tích phân \[I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {a\sin xdx} ,\,\,\,a \ne 0\] có giá trị là:

A. \[I = \frac{{\pi + 6 – 3\sqrt 3 }}{{6a}}\] B. \[I = \frac{{\pi + 3 – 3\sqrt 3 }}{{6a}}\] C. \[I = \frac{{\pi + 6 + 3\sqrt 3 }}{{6a}}\] D. \[I = \frac{{\pi + 3 + 3\sqrt 3 }}{{6a}}\]

Câu 2. Biết \[\int\limits_0^{\pi /4} {\left( {1 + x} \right)\cos 2xdx = \frac{1}{a} + \frac{\pi }{b}} \,\,\,\left( {a,b \in Z\,\,va\,\, \ne 0} \right)\]. Tính \[{ab}\]:

A. \[ab = 32\] B. \[ab = 2\] C. \[ab = 4\] D. \[ab = 12\]

Câu 3.  Tính tích phân \[\int\limits_0^\pi {{x^2}\cos 2xdx} \] bằng cách đặt \[u = {x^2}\,\,\,\& \,\,\,dv = \cos 2xdx\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \[I = \left. {\frac{1}{2}{x^2}\sin 2x} \right|_0^2 – \int\limits_0^\pi {x\sin 2xdx} \]

C. \[I = \left. {\frac{1}{2}{x^2}\sin 2x} \right|_0^2 + 2\int\limits_0^\pi {x\sin 2xdx} \]

B. \[I = \left. {\frac{1}{2}{x^2}\sin 2x} \right|_0^2 – 2\int\limits_0^\pi {x\sin 2xdx} \]

D. \[I = \left. {\frac{1}{2}{x^2}\sin 2x} \right|_0^2 + \int\limits_0^\pi {x\sin 2xdx} \]

Câu 4. Biết \[I = \int\limits_{\pi /6}^{\pi /2} {x\cos 2xdx = a\pi \sqrt 3 + b\int\limits_{\pi /6}^{\pi /2} {\sin 2xdx} } ,\,\,\left( {a,b \in Q} \right)\]. Giá trị của \[\frac{a}{b}\] là 

A. \[\frac{1}{{12}}\] B. \[\frac{1}{{24}}\] C. \[ – \frac{1}{{12}}\] D. \[ – \frac{1}{{24}}\]

Câu 5. Biết rằng \[\int\limits_0^1 {x\cos 2xdx = \frac{1}{4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)\,\,\,\left( {a,b,c \in Z} \right)} \]. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \[2a + b + c = – 1\] B. \[a + 2b + c = 0\] C. \[a – b + c = 0\] D. \[a + b + c = 1\]

Câu 6. Tính nguyên hàm \[I = \int {\left( {x – 2} \right)\sin 3xdx = – \frac{{\left( {x – 2} \right)\cos 3x}}{a} + b\sin 3x + C} \]. Tính \[a + 27b\]. Chọn đáp án đúng:

A. \[6\] B. \[14\] C. \[34\] D. \[22\]

Câu 7. Biết \[m\] là số thực thỏa mãn \[\int\limits_0^{\pi /2} {x\left( {\cos x + 2m} \right)dx = 2{\pi ^2} + \frac{\pi }{2} – 1} \].  Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? 

A. \[m \le 0\] B. \[0 < m \le 3\] C. \[3 < m \le 6\] D. \[m > 6\]

Câu 8. Tính tích phân \[\int\limits_0^\pi {x\left( {x + \sin x} \right)dx = a{\pi ^3} + b\pi } \]. Tính \[ab\]

A. \[3\] B. \[\frac{1}{3}\] C. \[6\] D. \[\frac{2}{3}\]

Câu 9. Tính tích phân \[\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}xdx} \] bằng

A. \[\frac{3}{4}{\pi ^2} – \pi \] B. \[\frac{3}{4}{\pi ^2} + \pi \] C. \[\frac{1}{4}{\pi ^2} + \pi \] D. \[\frac{1}{4}{\pi ^2} – \pi \]

Câu 10. Cho số hữu tỷ dương \[m\] thỏa \[\int\limits_0^{\pi /2m} {x\cos mxdx = \frac{{\pi – 2}}{2}} \]. Hỏi số \[m\] thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? 

A. \[\left( {\frac{7}{4};2} \right)\] B. \[\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\] C. \[\left( {1;\frac{6}{5}} \right)\] D. \[\left( {\frac{5}{6};\frac{8}{7}} \right)\]

…Đang update..

DẠNG 2:

Câu 1. Cho \[\int\limits_0^a {x{e^x}dx = 1\left( {a \in R} \right)} \]. Tìm \[a\]

A. \[0\] B. \[1\] C. \[2\] D. \[e\]

Câu 2. Cho \[I = \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}dx = a{e^2} + b\left( {a,b \in Q} \right)} \]. Tìm \[a+b\]

A. \[0\] B. \[\frac{1}{4}\] C. \[1\] D. \[\frac{1}{2}\]

Câu 3. Biết \[\int\limits_0^1 {\left( {2x + 1} \right){e^x}dx = a + be} \]. Tính \[ab\]

A. \[1\] B. \[-1\] C. \[-15\] D. \[20\]

Câu 4. Biết \[I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right){e^x}dx = ae + b\,\,\,} \left( {a,b \in Q} \right)\]. Mệnh đề nào đúng

A. \[a – b = 2\] B. \[{a^3} + {b^3} = 28\] C. \[ab = 28\] D. \[a + 2b = 1\]

Câu 5. Biết \[I = \int\limits_0^a {x{e^{\frac{x}{2}}}dx = 4} \]. Tìm \[a\]

A. \[1\] B. \[0\] C. \[4\] D. \[2\]

Câu 6. Biết \[I = \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)\left( {{e^x} – 3} \right)dx = e – a} \]. Tìm \[a\]

A. \[\frac{9}{2}\] B. \[\frac{9}{4}\] C. \[\frac{9}{5}\] D. \[\frac{8}{3}\]

Câu 7. Biết  \[I = \int\limits_0^1 {\left( {a – x} \right)\left( {b + {e^{2x}}} \right)dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}{e^2}} \]. Tìm \[\frac{{15}}{{12}}ab\left( {a + b} \right)\]

A. \[27\] B. \[30\] C. \[16\] D. \[45\]

Câu 8. Biết  \[I = \int\limits_0^1 {\left( {mx + 1} \right){e^x}dx = e} \]. Tìm \[m\]

A. \[0\] B. \[-1\] C. \[\frac{1}{2}\] D. \[1\]

Câu 9. Cho \[I = \int\limits_0^m {\left( {2x – 1} \right){e^{2x}}dx} \]. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số  \[m\] để \[I < m\] là khoảng \[\left( {a;b} \right)\]. Tính \[a – 3b\]

A. \[-3\] B. \[-2\] C. \[-4\] D. \[-1\]

Câu 10. Biết \[I = \int\limits_0^4 {\frac{{\left( {x + 1} \right){e^x}}}{{\sqrt {2x + 1} }}dx = a{e^4} + b} \]. Tính \[{a^2} – {b^2}\]

A. \[1\] B. \[2\] C. \[\frac{3}{2}\] D. \[\frac{5}{2}\]

…đang update…


DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHỎ NHẤT

DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN

Câu 1: Cho \[\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx = 16} \]. Tính \[\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right)dx} \] bằng

A. \[16\] B. \[4\] C. \[32\] D. \[8\]

Câu 2: Nếu \[\int\limits_0^6 {f\left( x \right)dx = 12} \] thì \[\int\limits_0^2 {f\left( {3x} \right)dx} \] bằng

A. \[16\] B. \[4\] C. \[32\] D. \[8\]

Câu 3: Nếu \[\int\limits_1^2 {f\left( {{x^2} + 1} \right)xdx = 2} \] thì \[\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} \] bằng

A. \[2\] B. \[1\] C. \[-1\] D. \[4\]

Câu 4: Cho \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[R\] và thỏa \[\int\limits_{ – 5}^1 {f\left( x \right)dx = 9} \]. Tính \[\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( {1 – 3x} \right) + 9} \right]dx} \]

A. \[27\] B. \[21\] C. \[15\] D. \[75\]

Câu 5: Biết \[f(x)\] liên tục trên \[R\] và \[\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx = 9} \]. Khi đó \[\int\limits_1^4 {f\left( {3x – 3} \right)dx} \] là

A. \[27\] B. \[3\] C. \[0\] D. \[24\]

Câu 6: Cho \[f(x)\] liên tục trên \[R\] thỏa \[\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 10} \]. Khi đó \[\int\limits_0^2 {f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx} \] bằng

A. \[\frac{5}{2}\] B. \[20\] C. \[10\] D. \[5\]

Câu 7: Cho \[\int\limits_{ – 1}^5 {f\left( x \right)dx = 4} \]. Tính \[\int\limits_{ – 1}^2 {f\left( {2x + 1} \right)dx} \]

A. \[2\] B. \[\frac{5}{2}\] C. \[4\] D. \[\frac{3}{2}\]

Câu 8: Giả sử \[y=f(x)\] liên tục trên \[R\] và \[\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx = a,\left( {a \in R} \right)} \]. Tích phân \[\int\limits_1^2 {f\left( {2x + 1} \right)dx} \] có giá trị là

A. \[\frac{1}{2}a + 1\] B. \[2a+1\] C. \[2a\] D. \[\frac{1}{2}a\]

Câu 9: Cho \[\int\limits_1^2 {f\left( {{x^2} + 1} \right)xdx = 2} \]. Tính \[\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} \]

A. \[2\] B. \[1\] C. \[-1\] D. \[4\]

Câu 10: Cho \[f(x)\] liên tục trên \[\left[ {1; + \infty } \right)\] và \[\int\limits_0^3 {f\left( {\sqrt {x + 1} } \right)dx = 8} \]. Tính \[\int\limits_1^2 {xf\left( x \right)dx} \]

A. \[16\] B. \[2\] C. \[8\] D. \[4\]

 

Quét mã code thường xuyên để cập nhật bài mới

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *