Bài 2. Hàm số lũy thừa

HÀM SỐ LŨY THỪA

KHÁI NIỆM

Hàm số \[y = {x^\alpha }\] gọi là hàm số lũy thừa, \[\left( {\alpha \in R} \right)\]

Ví dụ: \[y = {x^2};y = {x^{ – 4}};y = {x^{\frac{1}{3}}};y = {x^{\sqrt 2 }};y = {x^\pi }…\]

TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA

Với \[\alpha \] nguyên dương, tập xác định là \[R\]

Với \[\alpha \] nguyên âm hoặc bằng \[0\], tập xác định là \[R\backslash \left\{ 0 \right\}\]

Với \[\alpha \] không nguyên, tập xác định là \[\left( {0; + \infty } \right)\]

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LŨY THỪA

Hàm số \[y = {x^\alpha }\] có đạo hàm \[y’ = \left( {{x^\alpha }} \right)’ = \alpha {x^{\alpha – 1}}\], \[\left( {x > 0,\alpha \in R} \right)\]

Ví dụ. Tính đạo hàm của các hàm số sau: \[a)\,\,y = {x^{ – \frac{2}{3}}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,y = {x^\pi };\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,y = {x^{\sqrt 2 }}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Chú ý với hàm hợp: \[\left( {{u^\alpha }} \right)’ = \alpha {u^{\alpha – 1}}.u’\]

Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số \[y = {\left( {3{x^2} – 1} \right)^{ – \sqrt 2 }}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

KHẢO SÁT HÀM SỐ LŨY THỪA \[y = {x^\alpha }\]

\[\alpha > 0\] Tập khảo sát \[\left( {0; + \infty } \right)\] \[y’ = \alpha {x^{\alpha – 1}} > 0,\,\,\forall x > 0\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = 0;\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^\alpha } = + \infty \] Tiệm cận: không có Bảng biến thiên:

\[\alpha < 0\] Tập khảo sát \[\left( {0; + \infty } \right)\] \[y’ = \alpha {x^{\alpha – 1}} < 0,\,\,\forall x > 0\] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^\alpha } = + \infty ;\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^\alpha } = 0\] Tiệm cận: TCN là \[Ox\], TCĐ là \[Oy\] Bảng biến thiên:

Đồ thị:

CHÚ Ý: Khi khảo sát hàm lũy thừa với số mũ cụ thể ta phải xét trên toàn bộ tập xác định của nó

Bài tập giáo khoa

Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

\[a)\,\,y = {\left( {1 – x} \right)^{ – \frac{1}{3}}};\,\,\,b)\,\,y = {\left( {2 – {x^2}} \right)^{\frac{3}{5}}};\,\,\,c)\,\,y = {\left( {{x^2} – 1} \right)^{ – 2}};\,\,\,d)\,\,y = {\left( {{x^2} – x – 2} \right)^{\sqrt 2 }}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

\[a)\,\,y = {\left( {2{x^2} – x + 1} \right)^{  \frac{1}{3}}};\,\,\,b)\,\,y = {\left( {4 – x – {x^2}} \right)^{\frac{1}{4}}};\,\,\,c)\,\,y = {\left( {3x + 1} \right)^{\frac{\pi }{2}}};\,\,\,d)\,\,y = {\left( {5 – x} \right)^{\sqrt 3 }}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

\[a)\,\,y = {x^{\frac{3}{4}}};\,\,\,b)\,\,y = {x^{ – 3}}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 4. So sánh các số sau với 1:

\[a)\,\,{\left( {4,1} \right)^{2,7}};\,\,\,b)\,\,{\left( {0,2} \right)^{0,3}};\,\,\,c)\,\,{\left( {0,7} \right)^{3,2}};\,\,\,d)\,\,{\left( {\sqrt 3 } \right)^{0,4}}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 5. So sánh các cặp số sau:

\[a)\,\,{\left( {3,1} \right)^{7,2}}\,\,\,\,\& \,\,\,\,{\left( {4,3} \right)^{7,2}};\,\,\,\,\,\,\,\,b)\,\,{\left( {\frac{{10}}{{11}}} \right)^{2,3}}\,\,\,\,\& \,\,\,\,{\left( {\frac{{12}}{{11}}} \right)^{2,3}};\,\,\,\,\,\,\,\,c)\,\,{\left( {0,3} \right)^{0,3}}\,\,\,\,\& \,\,\,\,{\left( {0,2} \right)^{0,3}}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………….

BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO DẠNG

TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ CHỨA HÀM LŨY THỪA

Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( { – {x^2} + 7x – 10} \right)^{\frac{1}{3}}}\]

A. \[R\]

B. \[\left( {2;5} \right)\]

C. \[R\backslash \left\{ {2;5} \right\}\]

D. \[\left( { – \infty ;2} \right)\]

Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( {{x^2} – x – 6} \right)^{ – 4}}\]

A. \[R\backslash \left\{ { – 2;3} \right\}\]

B. \[R\]

C. \[R\backslash \left\{ 0 \right\}\]

D. \[\left( { – \infty ;2} \right)\]

Câu 3. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( {1 – {x^2}} \right)^{\frac{2}{3}}}\]

A. \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\]

B. \[\left[ { – 1;1} \right]\]

C. \[\left( { – \infty ;1} \right)\]

D. \[\left( { – 1;1} \right)\]

Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( {{x^2} – 1} \right)^{ – 12}}\]

A. \[R\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\]

B. \[\left( { – 1;1} \right)\]

C. \[R\backslash \left\{ 1 \right\}\]

D. \[\left( {1; + \infty } \right)\]

Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( {3{x^2} – 1} \right)^{ – 2}}\]

A. \[R\backslash \left\{ { \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right\}\]

B. \[D = \left\{ { \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right\}\]

C. \[\left( { – \infty ; – \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\]

D. \[\left( { – \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\]

Câu 6. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)^{\sqrt 2 }}\]

A. \[R\]

B. \[\left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]

C. \[\left( {0; + \infty } \right)\]

D. \[R\backslash \left\{ { – 3;1} \right\}\]

Câu 7. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( {x – 1} \right)^{ – 4}}\]

A. \[R\]

B. \[\left( {1; + \infty } \right)\]

C. \[\left( { – \infty ;1} \right)\]

D. \[R\backslash \left\{ 1 \right\}\]

Câu 8. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( {{x^2} – x} \right)^{ – 6\cos \frac{\pi }{4}}}\]

A. \[\left( { – \infty ;0} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]

B. \[R\backslash \left\{ {0;1} \right\}\]

C. \[\left( {0;1} \right)\]

D. \[R\]

Câu 9. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {x^{2017}}\]

A. \[\left( { – \infty ;0} \right)\]

B. \[\left( {0; + \infty } \right)\]

C. \[R\]

D. \[\left[ {0; + \infty } \right)\]

Câu 10. Tìm tập xác định của hàm số \[y = {\left( {x + 2} \right)^{\frac{{\sqrt 2 }}{3}}}\]

A. \[R\backslash \left\{ 2 \right\}\]

B. \[R\]

C. \[\left( { – 2; + \infty } \right)\]

D. \[\left( {0; + \infty } \right)\]

ĐẠO HÀM HÀM SỐ LŨY THỪA

Đang update…