Home / Toán 11 / BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

1. Định nghĩa

ĐN 1: Cho khoảng \[K \supset {x_0}\] và \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[K\]

Ta nói \[y = f\left( x \right)\] có giới hạn là số \[L\] khi \[x \to {x_0}\] nếu với dãy số \[\left( {{x_n}} \right)\] bất kì, \[{x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\] và \[{x_n} \to {x_0}\], ta có \[f\left( {{x_n}} \right) \to L\]

Kí hiệu: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\]

Ví dụ: Hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} – 2x}}{{x – 1}}\] xác định trên \[K = \left( { – \infty ; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\]

Ta cho những giá trị của \[x\] dần đến \[1\] như sau:

\[{x_1} = \frac{{1 + 1}}{1};\,\,{x_2} = \frac{{2 + 1}}{2};\,\,{x_3} = \frac{{3 + 1}}{3}…;{x_n} = \frac{{n + 1}}{n};…{x_n} \to 1\] là một dãy số

Khi đó:

\[f\left( {{x_1}} \right) = \frac{{2{{\left( {\frac{{1 + 1}}{1}} \right)}^2} – 2\left( {\frac{{1 + 1}}{1}} \right)}}{{\frac{{1 + 1}}{1} – 1}} = 4\];                          \[f\left( {{x_2}} \right) = \frac{{2{{\left( {\frac{{2 + 1}}{2}} \right)}^2} – 2\left( {\frac{{2 + 1}}{2}} \right)}}{{\frac{{2 + 1}}{2} – 1}} = 3\]

\[f\left( {{x_3}} \right) = \frac{{2{{\left( {\frac{{3 + 1}}{3}} \right)}^2} – 2\left( {\frac{{3 + 1}}{3}} \right)}}{{\frac{{3 + 1}}{3} – 1}} = 2,\left( 6 \right)\]                    \[f\left( {{x_4}} \right) = \frac{{2{{\left( {\frac{{4 + 1}}{4}} \right)}^2} – 2\left( {\frac{{4 + 1}}{4}} \right)}}{{\frac{{4 + 1}}{4} – 1}} = 2,5\]

\[f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{2{{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^2} – 2\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}}{{\frac{{n + 1}}{n} – 1}} \approx 2\]

\[\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right)\] cũng là một dãy số khi ta thay \[{{x_n}}\] vào

a) Ta chứng minh \[f\left( {{x_n}} \right) = 2{x_n} = \frac{{2n + 2}}{n}\]:

\[f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} – 2x}}{{x – 1}} = \frac{{2x\left( {x – 1} \right)}}{{x – 1}} = 2x\]

\[f\left( {{x_n}} \right) = 2.{x_n} = 2.\frac{{n + 1}}{n} = \frac{{2n + 2}}{n}\]

b) Ta tìm giới hạn của dãy số \[\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right)\]:

\[\lim \left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right) = \lim \frac{{2n + 2}}{n} = 2\]

Như vậy ta nói hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} – 2x}}{{x – 1}}\] có giới hạn là \[2\] khi \[x \to 1\]

Các ví dụ về giới hạn dạng dùng định nghĩa:

Ví dụ 1: Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:

a) \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 1}}{{3x – 2}}\]

Tập xác định: \[K = \left( { – \infty ;\frac{2}{3}} \right) \cup \left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\], \[x = 4 \in \left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\]

Giả sử \[\left( {{x_n}} \right)\] là dãy số bất kì, \[{x_n} \in \left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\], \[{x_n} \ne 4\] và \[{x_n} \to 4\] khi \[n \to + \infty \]

\[\lim f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{{x_n} + 1}}{{3{x_n} – 2}} = \frac{{4 + 1}}{{3.4 – 2}} = \frac{1}{2}\]

Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x + 1}}{{3x – 2}} = \frac{1}{2}\]

 

About TranVinhTri

Thích đủ thứ

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *