Home / Đại 11 Chương 4 / Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài 2. Giới hạn của hàm số

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Tải tài liệu

GIỚI HẠN HỮU HẠN TẠI 1 ĐIỂM

Định nghĩa

Cho khoảng \[K\] chứa \[{{x}_{0}}\] và \[y=f\left( x \right)\] xác định trên \[K\] hoặc \[K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\]

Ta nói hàm số \[y=f\left( x \right)\] có giới hạn là \[L\] khi \[x\to {{x}_{0}}\] nếu với dãy số \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì, \[{{x}_{n}}\in K\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\,\,\,\,\And \,\,\,\,{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\], ta có \[f\left( {{x}_{n}} \right)\to L\]

Kí hiệu: \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\,hay\,\,\,f\left( x \right)\to L\,\,\,khi\,\,\,x\to {{x}_{0}}\]

Ví dụ: Cho \[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-4}{x+2}\]. Chứng minh \[\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-4\]

TXĐ: \[\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\]

Giả sử \[\left( {{x}_{n}} \right)\] là dãy số bất kì thỏa \[{{x}_{n}}\ne -2\,\,\,\And \,\,\,{{x}_{n}}\to -2\,\,\,khi\,\,\,n\to +\infty \]

\[\lim f\left( {{x}_{n}} \right)=\lim \frac{x_{n}^{2}-4}{{{x}_{n}}+2}=\lim \frac{\left( {{x}_{n}}+2 \right)\left( {{x}_{n}}-2 \right)}{{{x}_{n}}+2}=\lim \left( {{x}_{n}}-2 \right)\]

Khi \[{{x}_{n}}\to -2\] thì \[\lim \left( {{x}_{n}}-2 \right)=-4\]

Vậy \[\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-4\]

Định lí về giới hạn hữu hạn

a) Giả sử \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\,\And \,\,\,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=M\]:

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]=L\,\pm M\]

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right).g\left( x \right) \right]=L\,.M\]

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right]=\frac{L}{M}\,\,\,\left( M\ne 0 \right)\]

Nếu \[\left\{ \begin{align}& f\left( x \right)\ge 0 \\& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L \\\end{align} \right.\]\[\Rightarrow \left\{ \begin{align}& L\ge 0 \\& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{f\left( x \right)}=\sqrt{L} \\\end{align} \right.\]

Ví dụ: Tính \[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{2\sqrt{x}}\]

\[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+1 \right)=10;\,\,\,\,\,\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( 2\sqrt{x} \right)=2\sqrt{3}\]

Vậy \[\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+1}{2\sqrt{x}}=\frac{10}{2\sqrt{3}}\]

Giới hạn một bên

Cho \[y=f\left( x \right)\] xác định trên \[\left( {{x}_{0}};b \right)\].

Số \[L\] là giới hạn bên phải của \[f(x)\] khi \[x\to {{x}_{0}}\] nếu với dãy \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì, \[{{x}_{0}}<{{x}_{n}}<b\,\,\,\And \,\,\,{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\], ta có \[f\left( {{x}_{n}} \right)\to L\]

Kí hiệu: \[\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\]

Cho \[y=f\left( x \right)\] xác định trên \[\left( a;{{x}_{0}} \right)\].

Số \[L\] là giới hạn bên trái của \[f(x)\] khi \[x\to {{x}_{0}}\] nếu với dãy \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì, \[a<{{x}_{n}}<{{x}_{0}}\,\,\,\And \,\,\,{{x}_{n}}\to {{x}_{0}}\], ta có \[f\left( {{x}_{n}} \right)\to L\]

Kí hiệu: \[\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\]

Định lí thừa nhận:

\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]

Ví dụ: Cho \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& 5x+2\,\,\,\,nếu\,\,x\ge 1 \\& {{x}^{2}}-3\,\,\,\,nếu\,\,x<1 \\
\end{align} \right.\].

Tính \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right),\,\,\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right),\,\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\left( nếu\,\,có \right)\]

\[\left\{ \begin{align}
& \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-3 \right)=-2 \\
& \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 5x+2 \right)=7 \\
\end{align} \right.\Rightarrow \] không tồn tại \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\] vì \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\ne \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]

GIỚI HẠN HỮU HẠN TẠI VÔ CỰC

ĐỊNH NGHĨA

Cho \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\left( a;+\infty \right)\]

Ta nói \[f\left( x \right)\] có giới hạn là \[L\] khi \[x\to +\infty \] nếu với dãy \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì, \[{{x}_{n}}>a\,\,\,\And \,\,\,{{x}_{n}}\to +\infty \], ta có \[f\left( {{x}_{n}} \right)\to L\]

Kí hiệu: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\,hay\,\,\,f\left( x \right)\to L\,\,\,khi\,\,\,x\to +\infty \]

Cho \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\left( -\infty ;a \right)\]

Ta nói \[f\left( x \right)\] có giới hạn là \[L\] khi \[x\to -\infty \] nếu với dãy \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì, \[{{x}_{n}}<a\,\,\,\And \,\,\,{{x}_{n}}\to -\infty \], ta có \[f\left( {{x}_{n}} \right)\to L\]

Kí hiệu: \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\,hay\,\,\,f\left( x \right)\to L\,\,\,khi\,\,\,x\to -\infty \]

Chú ý: Với \[c,k\] là các hằng số và \[k\] nguyên dương ta có:

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,c=c;\,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,c=c;\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{c}{{{x}^{k}}}=0;\,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{c}{{{x}^{k}}}=0\]

GIỚI VÔ CỰC

Cho \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\left( a;+\infty \right)\]

Ta nói \[f\left( x \right)\] có giới hạn là \[-\infty \] khi \[x\to +\infty \] nếu với dãy \[\left( {{x}_{n}} \right)\] bất kì, \[{{x}_{n}}>a\,\,\,\And \,\,\,{{x}_{n}}\to +\infty \], ta có \[f\left( {{x}_{n}} \right)\to -\infty \]

Kí hiệu: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \,\,\,hay\,\,\,f\left( x \right)\to -\infty \,\,\,khi\,\,\,x\to +\infty \]

Nhận xét: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=+\infty \,\,\Leftrightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ -f\left( x \right) \right]=-\infty \]

Một vài giới hạn đặc biệt:

\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty \,\,\left( k\in {{Z}^{*}} \right);\,\,\,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=-\infty \,\,\left( k\,\,lẻ \right);\,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}^{k}}=+\infty \,\,\left( k\,\,chẵn \right)\]

Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

\[\left\{ \begin{align}
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\left( L>0 \right) \\
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=+\infty \\
\end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right).g\left( x \right) \right]=+\infty \];        \[\left\{ \begin{align}
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\left( L>0 \right) \\
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=-\infty \\
\end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right).g\left( x \right) \right]=-\infty \]

\[\left\{ \begin{align}
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\left( L<0 \right) \\
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=+\infty \\
\end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right).g\left( x \right) \right]=-\infty \];        \[\left\{ \begin{align}
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\left( L<0 \right) \\
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=-\infty \\
\end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ f\left( x \right).g\left( x \right) \right]=+\infty \]

…………………….

\[\left\{ \begin{align}
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\left( L\ne 0 \right) \\
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\pm \infty \\
\end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right]=0\]

\[\left\{ \begin{align}
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\left( L>0 \right) \\
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0\,\,\left( g\left( x \right)>0 \right) \\
\end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right]=+\infty \]

\[\left\{ \begin{align}
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\left( L>0 \right) \\
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0\,\,\left( g\left( x \right)<0 \right) \\
\end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right]=-\infty \]

\[\left\{ \begin{align}
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\left( L<0 \right) \\
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0\,\,\left( g\left( x \right)>0 \right) \\
\end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right]=-\infty \]

\[\left\{ \begin{align}
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=L\,\,\left( L<0 \right) \\
& \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0\,\,\left( g\left( x \right)<0 \right) \\
\end{align} \right.\Rightarrow \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)} \right]=+\infty \]

…………………….

Bài tập giáo khoa

Câu 1. Tính giới hạn bằng định nghĩa:

a) \[\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{3x-2}\];          b) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-5{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+3}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

Câu 2. Cho \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}& \sqrt{x}+1\,\,\,nếu\,\,x\ge 0 \\& 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,nếu\,\,x<0 \\\end{align} \right.\] và các dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] với \[{{u}_{n}}=\frac{1}{n}\], \[\left( {{v}_{n}} \right)\] với \[{{v}_{n}}=-\frac{1}{n}\].

Tính \[\lim {{u}_{n}},\,\,\lim {{v}_{n}},\,\,\lim f\left( {{u}_{n}} \right),\,\,\lim f\left( {{v}_{n}} \right)\]

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

Câu 3. Tính các giới hạn sau:

a) \[\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{x+1}\];   b) \[\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{4-{{x}^{2}}}{x+2}\];   c) \[\underset{x\to 6}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}\];   d) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-6}{4-x}\];   e) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{17}{{{x}^{2}}+1}\];   f) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2{{x}^{2}}+x-1}{3+x}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

Câu 4. Tính các giới hạn sau:

a) \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x-5}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\];   b) \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-1}\];   c) \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-7}{x-1}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

Câu 5. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\frac{x+2}{{{x}^{2}}-9}\] có đồ thị như hình

a) Nêu nhận xét về giá trị của hàm số khi \[x\to -\infty ,x\to {{3}^{-}},x\to {{-3}^{+}}\]

b) Kiểm tra nhận xét trên bằng cách tính:

\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\,\,\,tren\,\,\left( -\infty ;-3 \right)\]

\[\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\,\,\,tren\,\,\left( -3;3 \right)\]

\[\underset{x\to -{{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\,\,\,tren\,\,\left( -3;3 \right)\]

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

Câu 6. Tính: a) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{4}}-{{x}^{2}}+x-1 \right)\];   b) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-5 \right)\];   c) \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}\];   d) \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x}{5-2x}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………….

BÀI TẬP TỰ LUYỆN THEO DẠNG

DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM

Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của \[\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+1}{2{{x}^{5}}+1}\]

A. \[-2\] B. \[-\frac{1}{2}\] C. \[\frac{1}{2}\] D. \[2\]

Câu 2. Tính \[\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{3}}-1}{3{{x}^{2}}+x+2}\] bằng

A. \[-\infty \] B. \[-\frac{11}{4}\] C. \[\frac{11}{4}\] D. \[+\infty \]

Câu 3. Tính \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{x-2}\] bằng định nghĩa được kết quả là

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[-2\] D. \[1\]

Câu 4. Tính \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{3}}+1 \right)\] bằng định nghĩa được kết quả là

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[9\] D. \[1\]

Câu 5. Tính \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\] bằng định nghĩa được kết quả là

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[-2\] D. \[1\]

Câu 6. Tính \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3}{x-2}\] bằng định nghĩa được kết quả là

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[-2\] D. \[1\]

Câu 7. Tính \[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}-x+1}{x+2}\] bằng định nghĩa được kết quả là

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[-2\] D. \[1\]

Câu 8. Tính \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3x+2}{2x-1}\] bằng định nghĩa được kết quả là

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[5\] D. \[1\]

Câu 9. Tính \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+4}-2}{2x}\] bằng định nghĩa được kết quả là

A. \[+\infty \] B. \[\frac{1}{8}\] C. \[-2\] D. \[1\]

Câu 10. Tính \[\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{4x-3}{x-1}\] bằng định nghĩa được kết quả là

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[-2\] D. \[1\]

Câu 11. Cho hàm số \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-3\,\,\,khi\,\,x\ge 2 \\
& x-1\,\,\,\,\,khi\,\,x<2 \\
\end{align} \right.\]. Chọn kết quả đúng của \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\]

A. \[1 \] B. \[0\] C. \[1\] D. không tồn tại

Câu 12. Tìm \[a\] để hàm số sau có giới hạn khi \[x\to 2\]: \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}+ax+1\,\,\,khi\,\,x>2 \\
& 2{{x}^{2}}-x+1\,\,\,\,\,khi\,\,x\le 2 \\
\end{align} \right.\]

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[\frac{1}{2}\] D. \[1\]

Câu 13. Tìm \[a\] để hàm số sau có giới hạn tại \[x=0\]: \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& 5a{{x}^{2}}+3x+2a+1\,\,\,khi\,\,x\ge 0 \\
& 1+x+\sqrt{{{x}^{2}}+x+2}\,\,\,khi\,\,x<0 \\
\end{align} \right.\]

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[\frac{\sqrt{2}}{2}\] D. \[1\]

Câu 14. Tìm \[a\] để hàm số \[f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}+ax+1\,\,khi\,\,x>1 \\
& 2{{x}^{2}}-x+3a\,\,khi\,\,x\le 1 \\
\end{align} \right.\] có giới hạn khi \[x\to 1\]

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[-\frac{1}{6}\] D. \[1\]

…đang update…

DẠNG 2. TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH \[\frac{0}{0}\]

Câu 1. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của \[\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+2x+1}{2{{x}^{3}}+2}\]

A. \[-\infty \] B. \[0\] C. \[\frac{1}{2}\] D. \[+\infty \]

Câu 2. Tính giới hạn \[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}-4x+3}\]

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[\frac{3}{2}\] D. \[1 \]

Câu 3. Tính giới hạn \[\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4}{{{x}^{3}}-8}\]

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[-\frac{1}{6}\] D. \[1 \]

Câu 4. Tính giới hạn \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( 1+3x \right)}^{3}}-{{\left( 1-4x \right)}^{4}}}{x}\]

A. \[+\infty \] B. \[-\infty \] C. \[-\frac{1}{6}\] D. \[25 \]

…đang update…

DẠNG 3. TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH \[\frac{\infty }{\infty }\]

…đang update…

DẠNG 4. GIỚI HẠN MỘT BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC \[\left( \infty -\infty ;\,\,0.\infty \right)\]

…đang update…

DẠNG 5. GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC

…đang update…

Quét mã code thường xuyên để cập nhật bà mới hoặc hướng dẫn

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *