Home / Chương 1 - Hàm Số / BÀI 2 – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI 2 – CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tải tài liệu tại đây

Khái niệm cực trị của hàm số:

Định nghĩa:

Giả sử hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên tập \[D\] nào đó (\[D \subset R\]).

a) \[{x_0}\] nào đó được gọi là một điểm cực đại của hàm số \[f\left( x \right)\] nếu tồn tại khoảng \[\left( {a;b} \right)\] chứa \[{x_0}\] sao cho \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {a;b} \right) \subset D\\f\left( x \right) < f\left( {{x_0}} \right),\,\,\forall {x_0} \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\end{array} \right.\]

Khi đó \[f\left( {{x_0}} \right)\] được gọi là giá trị cực đại của hàm số \[f\left( x \right)\]

b) \[{x_0}\] nào đó được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số \[f\left( x \right)\] nếu tồn tại khoảng \[\left( {a;b} \right)\] chứa \[{x_0}\] sao cho \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {a;b} \right) \subset D\\f\left( x \right) > f\left( {{x_0}} \right),\,\,\forall {x_0} \in \left( {a;b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\end{array} \right.\]

Khi đó \[f\left( {{x_0}} \right)\] được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số \[f\left( x \right)\]

Điểm cực đạiđiểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đạigiá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Chú ý:

Giá trị cực đại (cực tiểu) \[f\left( {{x_0}} \right)\] nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số \[f\left( x \right)\] trên tập \[D\] mà chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\] nào đó chứa \[{x_0}\]

Hàm số có thể đạt cực đại tại nhiều điểm trên tập \[D\]

Hàm số cũng có thể không có cực trị trên một tập số thực nào đó cho trước

Đôi khi người ta cũng nói đến điểm cực trị của đồ thị: Nếu \[{{x_0}}\] là 1 điểm cực trị của hàm số \[f\left( x \right)\] thì  \[\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\]  được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số \[f(x)\]

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

Định lí 1:

Giả sử \[f\] đạt cực trị tại điểm \[{x_0}\].

Khi đó nếu \[f\] có đạo hàm tại \[{x_0}\] thì \[f’\left( {{x_0}} \right) = 0\]

Ngược lại \[f’\left( {{x_0}} \right) = 0\] nhưng hàm số có thể không đạt cực trị tại \[{{x_0}}\]

Chú ý: 

Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó không có đạo hàm

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lí 2:

Giả sử hàm số \[f\] liên tục trên \[\left( {a;b} \right)\] chứa \[{x_0}\] và có đạo hàm trên các khoảng \[\left( {a;{x_0}} \right)\] và \[\left( {{x_0};b} \right)\]. Khi đó:

Nếu  \[\left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\\f’\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\] đạt cực tiểu tại điểm \[{{x_0}}\] (\[f’\left( x \right)\] đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \[{{x_0}}\])

Nếu  \[\left\{ \begin{array}{l}f’\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\\f’\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\end{array} \right. \Rightarrow f\] đạt cực đại tại điểm \[{{x_0}}\] (\[f’\left( x \right)\] đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua \[{{x_0}}\])

Quy tắc tìm cực trị:

Quy tăc 1:

Tìm tập xác định

Tìm \[f’\left( x \right)\]

Tìm các điểm \[{x_1},{x_2}…{x_i}\] mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

Lập bảng biến thiên

Xét dấu \[f’\left( x \right)\]. Nếu \[f’\left( x \right)\] đổi dâu khi qua \[{x_i}\] nào đó thì đạt cực trị tại \[{x_i}\]

Định lí 3:

Giả sử \[f\] có đạo hàm cấp 1 trên \[\left( {a;b} \right) \supset {x_0},f’\left( {{x_0}} \right) = 0\] và \[f\] có đạo hàm cấp 2  khác 0 tại \[{{x_0}}\]

Nếu \[f”\left( {{x_0}} \right) < 0 \Rightarrow f\] đạt cực đại tại \[{{x_0}}\]

Nếu \[f”\left( {{x_0}} \right) > 0 \Rightarrow f\] đạt cực tiểu tại \[{{x_0}}\]

Quy tắc 2:

Tìm tập xác định

Tìm \[f’\left( x \right)\]

Tìm các nghiệm \[{x_i}\] của phương trình \[f’\left( x \right) = 0\]

Tìm \[f”\left( x \right)\] và tính \[f”\left( {{x_i}} \right)\]

Nếu \[f”\left( {{x_i}} \right) < 0 \Rightarrow \] hàm đạt cực đại tại \[{{x_i}}\]

Nếu \[f”\left( {{x_i}} \right) > 0 \Rightarrow \] hàm đạt cực tiểu tại \[{{x_i}}\]

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số \[y = 2{x^3} + 3{x^2} – 36x – 10\] bằng quy tắc 1.

Tập xác định \[D = R\]

\[y’ = 6{x^2} + 6x – 36\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x – 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 3\\x = 2\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \[{x_{CĐ}} = – 3\], \[{x_{CT}} = 2\]

Ví dụ 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số \[y = {x^4} + 2{x^2} – 3\] bằng quy tắc 1.

Tập xác định: \[D = R\]

\[y’ = 4{x^3} + 4x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có  \[{x_{CT}} = 0\]

Ví dụ 3. Tìm các điểm cực trị của hàm số \[y = x + \frac{1}{x}\] bằng quy tắc 1.

Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\]

\[y’ = \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \[{x_{CĐ}} = – 1\], \[{x_{CT}} = 1\]

Ví dụ 4. Tìm các điểm cực trị của hàm số \[f(x) = {x^3}{\left( {1 – x} \right)^2}\] bằng quy tắc 1.

Tập xác định: \[D = R\]

\[f'(x) = {x^2}\left( {5{x^2} – 8x + 3} \right)\]

\[f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {5{x^2} – 8x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = \frac{3}{5}\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \[{x_{CĐ}} = \frac{3}{5}\], \[{x_{CT}} = 1\]

Ví dụ 5. Tìm các điểm cực trị của hàm số \[f(x) = \sqrt {{x^2} – x + 1} \] bằng quy tắc 1.

Tập xác định: \[D = R\]

\[f'(x) = \frac{{2x – 1}}{{2\sqrt {{x^2} – x + 1} }}\]

\[f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có \[{x_{CT}} = \frac{1}{2}\]

Ví dụ 6. Tìm các điểm cực trị của hàm số\[f\left( x \right) = {x^4} – 2{x^2} + 1\] bằng quy tắc 2.

Tập xác định: \[R\]

\[f’\left( x \right) = 4{x^3} – 4x\]

\[f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\]

\[f”\left( x \right) = 12{x^2} – 4\]

\[f”\left( 0 \right) = – 4 < 0 \Rightarrow {x_{CĐ}} = 0\]

\[f”\left( 1 \right) = 8 > 0 \Rightarrow {x_{CT}} = 1\]

\[f”\left( { – 1} \right) = 8 > 0 \Rightarrow {x_{CT}} = – 1\]

Ví dụ 7. Tìm các điểm cực trị của hàm số\[f\left( x \right) = \sin 2x – x\] bằng quy tắc 2.

Tập xác định: \[R\]

\[f’\left( x \right) = 2\cos 2x – 1\]

\[f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = – \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.,k \in Z\]

\[f”\left( x \right) = – 4\sin \left( {2x} \right)\]

\[f”\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = – 4\sin \left( {2\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right)} \right) = – 4\sin \frac{\pi }{3} < 0 \Rightarrow {x_{CD}} = \frac{\pi }{6} + k\pi \]

\[f”\left( { – \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = – 4\sin \left( {2\left( { – \frac{\pi }{6} + k\pi } \right)} \right) = – 4\sin \frac{{ – \pi }}{3} > 0 \Rightarrow {x_{CT}} = – \frac{\pi }{6} + k\pi \]

Ví dụ 8. Tìm các điểm cực trị của hàm số \[f\left( x \right) = \sin x + \cos x\] bằng quy tắc 2.

Tập xác định: \[R\]

\[f’\left( x \right) = \cos x – \sin x\]

\[f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\left( {k \in Z} \right)\]

\[f”\left( x \right) = – \sin x – \cos x = – \left( {\sin x + \cos x} \right) = – \sqrt 2 \cos \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)\]

\[f”\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = – \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + k\pi – \frac{\pi }{4}} \right) = – \sqrt 2 \cos \left( {k\pi } \right)\]

Với \[k\] chẳn: \[f”\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = – \sqrt 2 \cos \left( {k\pi } \right) < 0 \Rightarrow {x_{CD}} = \frac{\pi }{4} + 2k.\pi \]

Với \[k\] lẻ: \[f”\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = – \sqrt 2 \cos \left( {k\pi } \right) > 0 \Rightarrow {x_{CT}} = \frac{\pi }{4} + \left( {2k + 1} \right).\pi \]

Ví dụ 9. Tìm các điểm cực trị của hàm số \[f\left( x \right) = {x^5} – {x^3} – 2x + 1\] bằng quy tắc 2.

Tập xác định: \[R\]

\[f’\left( x \right) = 5{x^4} – 3{x^2} – 2\]

\[f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 5{x^4} – 3{x^2} – 2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]

\[f”\left( x \right) = 20{x^3} – 6x\]

\[f”\left( { – 1} \right) = – 14 < 0 \Rightarrow {x_{CĐ}} = – 1\]

\[f”\left( 1 \right) = 14 > 0 \Rightarrow {x_{CT}} = 1\]

Ví dụ 10. Chứng minh hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {\left| x \right|} \] không có đạo hàm tại \[x=0\] nhưng vẫn đạt cực tiểu tại \[x=0\]

Tập xác định: \[R\]

\[f’\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|’}}{{2\sqrt {\left| x \right|} }}\]. Tại \[x=0\] thì đạo hàm không xác định

\[f’\left( x \right) = \frac{{\left| x \right|’}}{{2\sqrt {\left| x \right|} }} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,khi\,\,x > 0\\- \frac{1}{{2\sqrt { – x} }}\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\]

Bảng xét dấu đạo hàm:

Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=0\] mặt dù tại \[x=0\] đạo hàm không xác định

Ví dụ 11. Chứng minh với mọi giá trị của \[m\] thì hàm số \[y = {x^3} – m{x^2} – 2x + 1\] luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Tập xác định: \[R\]

\[y’ = 3{x^2} – 2mx – 2\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 2mx – 2 = 0\]

\[\Delta ‘ = {m^2} + 6 > 0\forall m\] \[ \Rightarrow y’ = 0\] luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo tam thức bậc hai là trong hai nghiệm trái dấu hệ số a, ngoài hai nghiệm cùng dấu hệ số a, nên \[y’\] sẽ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm ấy nên luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

Ví dụ 12. Tìm \[a\] và \[b\] để các cực trị của hàm sô \[y = \frac{5}{3}{a^2}{x^3} + 2a{x^2} – 9x + b\] đều là những số dương và  \[{x_0} = – \frac{5}{9}\] là điểm cực đại

Tập xác định: \[D=R\]

\[y’ = 5{a^2}{x^2} + 4ax – 9\]

\[y” = 10{a^2}x + 4a\]

\[{x_0} = – \frac{5}{9}\] là điểm cực đại \[ \Rightarrow y’\left( { – \frac{5}{9}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = – \frac{9}{5}\\a = \frac{{81}}{{25}}\end{array} \right.\]

Với \[a = – \frac{9}{5} \Rightarrow y’ = \frac{{81}}{5}{x^2} – \frac{{36}}{5}x – 9,\,\,\,y” = 10\left( {\frac{{81}}{{25}}} \right)x – \frac{{36}}{5}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{81}}{5}{x^2} – \frac{{36}}{5}x – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – \frac{9}{5}\end{array} \right.\]

\[y”\left( 1 \right) = \frac{{126}}{5} > 0 \Rightarrow {x_{CT}} = 1,{y_{CT}} = \frac{{5b – 36}}{5}\]

Vì cực trị dương nên \[\frac{{5b – 36}}{5} > 0 \Leftrightarrow b > \frac{{36}}{5}\]

\[y”\left( { – \frac{9}{5}} \right) = – \frac{{126}}{5} < 0 \Rightarrow {x_{CD}} = – \frac{9}{5},{y_{CD}} = b + \frac{{80}}{{27}}\]

Vì cực trị dương nên \[b + \frac{{80}}{{27}} > 0 \Leftrightarrow b > – \frac{{80}}{{27}}\]

Kết hợp: \[\left\{ \begin{array}{l}b > – \frac{{80}}{{27}}\\b > \frac{{36}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow b > \frac{{36}}{5}\]

Vậy \[a = – \frac{9}{5},b > \frac{{36}}{5}\]

Với \[a = \frac{{81}}{{25}}\] ta làm tương tự được \[a = \frac{{81}}{{25}},b > \frac{{400}}{{243}}\]

Ví dụ 13. Xác định giá trị của \[m\] để hàm số \[y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\] đạt cực đại tại \[x=2\]

Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ { – m} \right\}\]

\[y’ = \frac{{\left( {m + x + 1} \right)\left( {m + x – 1} \right)}}{{{{\left( {m + x} \right)}^2}}}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow \left( {m + x + 1} \right)\left( {m + x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1 – m\\x = 1 – m\end{array} \right.\]

Từ điều kiện xác định \[\left\{ \begin{array}{l}- 1 – m \ne – m\\1 – m \ne – m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 1 \ne 0\\1 \ne 0\end{array} \right.\,\,\forall m\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại \[x = – 1 – m\]\[ \Leftrightarrow 2 = – 1 – m \Leftrightarrow m = – 3\]

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CŨNG CỐ KIẾN THỨC

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

About TranVinhTri

Thích đủ thứ