TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Tải tài liệu tại đây
Nhắc lại định nghĩa:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[K\]. (\[K\] là 1 khoảng, 1 đoạn hay nửa khoảng nào đó)
Hàm số đồng biến trên \[K\] nếu:
\[{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right);\,\,\forall {x_1},{x_2} \in K\]
Hàm số nghich biến trên \[K\] nếu:
\[{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right);\,\,\forall {x_1},{x_2} \in K\]
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên \[K\] gọi chung là hàm số đơn điệu trên \[K\]
Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm trên \[K\].
Nếu \[f’\left( x \right) > 0 \Rightarrow \] đồng biến trên \[K\], \[\forall x \in K\]
Nếu \[f’\left( x \right) < 0 \Rightarrow \] nghịch biến trên \[K\], \[\forall x \in K\]
Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:
Tìm tập xác định
Tính đạo hàm (nếu thấy rõ đạo hàm lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 thì kết luận luôn)
Cho đạo hàm bằng 0 tìm các nghiệm
Sắp xếp các nghiệm theo chiều tăng dần lên bảng biến thiên
Nêu kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = 4 + 3x – {x^2}\]
Tập xác định: \[K=R\]
\[y’ = 3 – 2x\]
\[y’ = 0 \Leftrightarrow 3 – 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\]
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;\frac{3}{2}} \right)\]
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\]
Ví dụ 2. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} – 7x – 2\]
Tập xác định: \[K=R\]
\[y’ = {x^2} + 6x – 7\]
\[y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 7\end{array} \right.\]
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 7} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\]
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – 7;1} \right)\]
Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = {x^4} – 2{x^2} + 3\]
Tập xác định: \[K=R\]
\[y’ = 4{x^3} – 4x\]
\[y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\]
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – 1;0} \right)\], \[\left( {1; + \infty } \right)\]
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\], \[\left( {0;1} \right)\]
Ví dụ 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = – {x^3} + {x^2} – 5\]
Tập xác định: \[K=R\]
\[y’ = – 3{x^2} + 2x\]
\[y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right)\], \[\left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0;\frac{2}{3}} \right)\]
Ví dụ 5. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = \frac{{3x + 1}}{{1 – x}}\]
Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\] hay \[D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]
\[y’ = \frac{4}{{{{\left( { – 1 + x} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in D\]
\[ \Rightarrow \] hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\]
Ví dụ 6. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = \frac{{{x^2} – 2x}}{{1 – x}}\]
Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\] hay \[D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]
\[y’ = \frac{{ – {x^2} + 2x – 2}}{{{{\left( { – 1 + x} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\]
\[ \Rightarrow \] hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\]
Ví dụ 7. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = \sqrt {{x^2} – x – 20} \]
Tập xác định: \[D = \left( { – \infty ; – 4} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\]
\[y’ = \frac{{2x – 1}}{{2\sqrt {{x^2} – x – 20} }}\]
\[y’ = 0 \Leftrightarrow 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\]
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; – 4} \right)\]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {5; + \infty } \right)\]
Ví dụ 8. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = \frac{{2x}}{{{x^2} – 9}}\]
Tập xác định: \[D = \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( { – 3;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\]
\[y’ = \frac{{ – \left( {2{x^2} + 18} \right)}}{{{{\left( {{x^2} – 9} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\]
\[ \Rightarrow \] hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 3} \right),\left( { – 3;3} \right),\left( {3; + \infty } \right)\]
Ví dụ 9. Chứng minh hàm số \[y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\] đồng biến trên khoảng \[\left( { – 1;1} \right)\]; nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\]
\[y’ = \frac{{ – {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]
\[y’ = 0 \Leftrightarrow – {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 10. Chứng minh hàm số \[y = \sqrt {2x – {x^2}} \] đồng biến trên khoảng \[\left( {0;1} \right)\]; nghịch biến trên khoảng \[\left( {1;2} \right)\]
\[y’ = \frac{{ – 2x + 2}}{{2\sqrt { – {x^2} + 2x} }}\]
\[y’ = 0 \Leftrightarrow – 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CŨNG CỐ KIẾN THỨC
Thời gian: 0
Kiểm tra lại câu chưa lụiBạn đã lụi 0 câu của tổng số 30 câu Tổng câu hỏi:
Information
SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bạn đã hoàn thành bài kiểm tra trước đó. Do đó bạn không thể bắt đầu lại. Đang tải... Bạn phải đăng nhập hoặc đăng ký để bắt đầu bài kiểm tra. Bạn phải hoàn thành bài kiểm tra sau, để bắt đầu bài kiểm tra này: KẾT QUẢ:Bạn đã trả lời 0 câu đúng trên tổng số 30 câu Thời gian làm: Thời gian đã trôi qua Bạn đã đạt được 0 của 0 số điểm, (0)
Categories
|