BÀI 1 – SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tải tài liệu tại đây

Nhắc lại định nghĩa:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[K\]. (\[K\] là 1 khoảng, 1 đoạn hay nửa khoảng nào đó)

Hàm số đồng biến trên \[K\]  nếu:

\[{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right);\,\,\forall {x_1},{x_2} \in K\]

Hàm số nghich biến trên \[K\]  nếu:

\[{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right);\,\,\forall {x_1},{x_2} \in K\]

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên \[K\] gọi chung là hàm số đơn điệu trên \[K\]

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm trên \[K\].

Nếu  \[f’\left( x \right) > 0 \Rightarrow \] đồng biến trên \[K\],  \[\forall x \in K\]

Nếu  \[f’\left( x \right) < 0 \Rightarrow \] nghịch biến trên \[K\],  \[\forall x \in K\]

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:

Tìm tập xác định

Tính đạo hàm (nếu thấy rõ đạo hàm lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 thì kết luận luôn)

Cho đạo hàm bằng 0 tìm các nghiệm

Sắp xếp các nghiệm theo chiều tăng dần lên bảng biến thiên

Nêu kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = 4 + 3x – {x^2}\]

Tập xác định: \[K=R\]

\[y’ = 3 – 2x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 3 – 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\]

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;\frac{3}{2}} \right)\]

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\]

Ví dụ 2. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} – 7x – 2\]

Tập xác định: \[K=R\]

\[y’ = {x^2} + 6x – 7\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 7\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 7} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\]

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – 7;1} \right)\]

Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = {x^4} – 2{x^2} + 3\]

Tập xác định: \[K=R\]

\[y’ = 4{x^3} – 4x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – 1;0} \right)\], \[\left( {1; + \infty } \right)\]

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\], \[\left( {0;1} \right)\]

Ví dụ 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = – {x^3} + {x^2} – 5\]

Tập xác định: \[K=R\]

\[y’ = – 3{x^2} + 2x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right)\], \[\left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\]

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0;\frac{2}{3}} \right)\]

Ví dụ 5. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = \frac{{3x + 1}}{{1 – x}}\]

Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\] hay \[D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{4}{{{{\left( { – 1 + x} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in D\]

\[ \Rightarrow \] hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\]

Ví dụ 6. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = \frac{{{x^2} – 2x}}{{1 – x}}\]

Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\] hay \[D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{{ – {x^2} + 2x – 2}}{{{{\left( { – 1 + x} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\]

\[ \Rightarrow \] hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\]

Ví dụ 7. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = \sqrt {{x^2} – x – 20} \]

Tập xác định: \[D = \left( { – \infty ; – 4} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{{2x – 1}}{{2\sqrt {{x^2} – x – 20} }}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\]

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; – 4} \right)\]

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {5; + \infty } \right)\]

Ví dụ 8. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = \frac{{2x}}{{{x^2} – 9}}\]

Tập xác định: \[D = \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( { – 3;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{{ – \left( {2{x^2} + 18} \right)}}{{{{\left( {{x^2} – 9} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\]

\[ \Rightarrow \] hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 3} \right),\left( { – 3;3} \right),\left( {3; + \infty } \right)\]

Ví dụ 9. Chứng minh hàm số \[y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\] đồng biến trên khoảng \[\left( { – 1;1} \right)\]; nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{{ – {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow – {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 10. Chứng minh hàm số \[y = \sqrt {2x – {x^2}} \] đồng biến trên khoảng \[\left( {0;1} \right)\]; nghịch biến trên khoảng \[\left( {1;2} \right)\]

\[y’ = \frac{{ – 2x + 2}}{{2\sqrt { – {x^2} + 2x} }}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow – 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CŨNG CỐ KIẾN THỨC