Home / Chương 1 - Hàm Số / BÀI 1 – SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

BÀI 1 – SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Tải tài liệu tại đây

Nhắc lại định nghĩa:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[K\]. (\[K\] là 1 khoảng, 1 đoạn hay nửa khoảng nào đó)

Hàm số đồng biến trên \[K\]  nếu:

\[{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right);\,\,\forall {x_1},{x_2} \in K\]

Hàm số nghich biến trên \[K\]  nếu:

\[{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right);\,\,\forall {x_1},{x_2} \in K\]

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên \[K\] gọi chung là hàm số đơn điệu trên \[K\]

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm trên \[K\].

Nếu  \[f’\left( x \right) > 0 \Rightarrow \] đồng biến trên \[K\],  \[\forall x \in K\]

Nếu  \[f’\left( x \right) < 0 \Rightarrow \] nghịch biến trên \[K\],  \[\forall x \in K\]

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số:

Tìm tập xác định

Tính đạo hàm (nếu thấy rõ đạo hàm lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 thì kết luận luôn)

Cho đạo hàm bằng 0 tìm các nghiệm

Sắp xếp các nghiệm theo chiều tăng dần lên bảng biến thiên

Nêu kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = 4 + 3x – {x^2}\]

Tập xác định: \[K=R\]

\[y’ = 3 – 2x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 3 – 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\]

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { – \infty ;\frac{3}{2}} \right)\]

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\]

Ví dụ 2. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} + 3{x^2} – 7x – 2\]

Tập xác định: \[K=R\]

\[y’ = {x^2} + 6x – 7\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x – 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = – 7\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 7} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\]

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – 7;1} \right)\]

Ví dụ 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = {x^4} – 2{x^2} + 3\]

Tập xác định: \[K=R\]

\[y’ = 4{x^3} – 4x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} – 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – 1;0} \right)\], \[\left( {1; + \infty } \right)\]

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\], \[\left( {0;1} \right)\]

Ví dụ 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \[y = – {x^3} + {x^2} – 5\]

Tập xác định: \[K=R\]

\[y’ = – 3{x^2} + 2x\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow – 3{x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;0} \right)\], \[\left( {\frac{2}{3}; + \infty } \right)\]

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {0;\frac{2}{3}} \right)\]

Ví dụ 5. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = \frac{{3x + 1}}{{1 – x}}\]

Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\] hay \[D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{4}{{{{\left( { – 1 + x} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \in D\]

\[ \Rightarrow \] hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\]

Ví dụ 6. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = \frac{{{x^2} – 2x}}{{1 – x}}\]

Tập xác định: \[D = R\backslash \left\{ 1 \right\}\] hay \[D = \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{{ – {x^2} + 2x – 2}}{{{{\left( { – 1 + x} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\]

\[ \Rightarrow \] hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)\]

Ví dụ 7. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = \sqrt {{x^2} – x – 20} \]

Tập xác định: \[D = \left( { – \infty ; – 4} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{{2x – 1}}{{2\sqrt {{x^2} – x – 20} }}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow 2x – 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\]

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { – \infty ; – 4} \right)\]

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {5; + \infty } \right)\]

Ví dụ 8. Xét tính đơn điệu của hàm số \[y = \frac{{2x}}{{{x^2} – 9}}\]

Tập xác định: \[D = \left( { – \infty ; – 3} \right) \cup \left( { – 3;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{{ – \left( {2{x^2} + 18} \right)}}{{{{\left( {{x^2} – 9} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in D\]

\[ \Rightarrow \] hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 3} \right),\left( { – 3;3} \right),\left( {3; + \infty } \right)\]

Ví dụ 9. Chứng minh hàm số \[y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\] đồng biến trên khoảng \[\left( { – 1;1} \right)\]; nghịch biến trên các khoảng \[\left( { – \infty ; – 1} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\]

\[y’ = \frac{{ – {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow – {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 10. Chứng minh hàm số \[y = \sqrt {2x – {x^2}} \] đồng biến trên khoảng \[\left( {0;1} \right)\]; nghịch biến trên khoảng \[\left( {1;2} \right)\]

\[y’ = \frac{{ – 2x + 2}}{{2\sqrt { – {x^2} + 2x} }}\]

\[y’ = 0 \Leftrightarrow – 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có điều phải chứng minh

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CŨNG CỐ KIẾN THỨC

SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

About TranVinhTri

Thích đủ thứ

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *