Home / Chương 4 - Số phức / Bài 1,2. Số phức và các phép toán trên số phức

Bài 1,2. Số phức và các phép toán trên số phức

SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN

Tải tài liệu

SỐ \[i\]

Với mong muốn mở rộng tập số thực để mọi phương trình bậc \[n\] đều có nghiệm người ta đưa ra một số mới là \[i\] và coi nó là nghiệm của phương trình.

\[{i^2} = – 1\,\,\,hay\,\,\,\sqrt { – 1} = i\]

ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC

Một biểu thức dạng \[a+bi\] được gọi là một số phức, trong đó \[a,b \in R,{i^2} = – 1\]

Số phức \[z = a + bi\] có \[a\] là phần thực, \[b\] là phần ảo, \[i\] là đơn vị ảo

Tập hợp các số phức kí hiệu \[C\]

SỐ PHỨC BẰNG NHAU

Hai số phức bằng nhau nếu phần thực bằng phần thực, phần ảo bằng phần ảo

\[a + bi = c + di \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = c\\
b = d
\end{array} \right.\]

CHÚ Ý:

Số thực \[a\] được coi là số phức có phần ảo bằng \[0\]: \[a = a + 0i\]

Vậy số thực cũng là một số phức nên \[R \subset C\]

Số \[0 + bi\] là số thuần ảo và viết gọn là \[bi\]

BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Điểm \[M\left( {a;b} \right)\] trong hệ tọa độ là điểm biểu diễn số phức \[z=a+bi\]

MÔĐUN CỦA SỐ PHỨC

Số phức \[z=a+bi\] được biểu diễn bởi điểm \[M\] như hình. Độ dài \[\overrightarrow {OM} \] là môđun của số phức \[z\]. Kí hiệu \[\left| z \right|\]

\[\left| z \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|\,\,\,hay\,\,\,\left| {a + bi} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \]

 

SỐ PHỨC LIÊN HỢP

Số phức \[z=a+bi\] có số phức liên hợp là \[\overline z = a – bi\]

Bài tập giáo khoa

Bài 1. Tìm phần thực phần ảo của số phức \[z\] biết

a) \[z = 1 – \pi i\]          b) \[z = \sqrt 2 – i\]          c) \[z = 2\sqrt 2 \]          d) \[z = – 7i\]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 2. Tìm các số thực \[x\] và \[y\] biết

a) \[\left( {3x – 2} \right) + \left( {2y + 1} \right)i = \left( {x + 1} \right) – \left( {y – 5} \right)i\]

b) \[\left( {1 – 2x} \right) – \sqrt 3 i = \sqrt 5 + \left( {1 – 3y} \right)i\]

c) \[\left( {2x + y} \right) + \left( {2y – x} \right)i = \left( {x – 2y + 3} \right) + \left( {y + 2x + 1} \right)i\]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 3. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \[z\] thỏa mãn điều kiện

a) Phần thực của \[z\] bằng \[-2\]

b) Phần ảo của \[z\] bằng \[3\]

c) Phần thực của \[z\] thuộc khoảng \[\left( { – 1;2} \right)\]

d) Phần ảo của \[z\] thuộc đoạn \[\left[ {1;3} \right]\]

e) Phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn \[\left[ {-2;2} \right]\]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 4. Tìm \[\left| z \right|\] biết

a) \[z = – 2 + i\sqrt 3 \]         b) \[z = \sqrt 2 – 3i\]         c) \[z = – 5\]          d) \[z = i\sqrt 3 \]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 5. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \[z\] thỏa mãn các điều kiện

a) \[\left| z \right| = 1\]         b) \[\left| z \right| \le 1\]         c) \[1 < \left| z \right| \le 2\]          d) \[\left| z \right| = 1\] và phần ảo của \[z\] bằng 1

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 6. Tìm \[{\overline z }\] biết

a) \[z = 1 – i\sqrt 2 \]         b) \[z = – \sqrt 2 + i\sqrt 3 \]         c) \[z = 5\]          d) \[z = 7i\]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

PHÉP CỘNG VÀ TRỪ 

\[\begin{array}{l}
\left( {a + bi} \right) + \left( {c + di} \right) = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i\\
\left( {a + bi} \right) – \left( {c + di} \right) = \left( {a – c} \right) + \left( {b – d} \right)i
\end{array}\]

Ví dụ:

\[\begin{array}{l}
\left( {1 + 2i} \right) + \left( {3 + 4i} \right) = \left( {1 + 3} \right) + \left( {2 + 4} \right)i = 4 + 6i\\
\left( {1 + 2i} \right) – \left( {3 + 4i} \right) = \left( {1 – 3} \right) + \left( {2 – 4} \right)i = – 2 – 2i
\end{array}\]

PHÉP NHÂN

Nhân như nhân đa thức rồi thay \[{i^2} = – 1\]

\[\left( {a + bi} \right).\left( {c + di} \right) = \left( {ac – bd} \right) + \left( {ad + bc} \right)i\]

Ví dụ:

\[\left( {1 + 2i} \right).\left( {3 + 4i} \right) = 1.3 + 1.4i + 2i.3 + 2i.4i = 3 + 4i + 6i – 8 = – 5 + 10i\]

Bài tập giáo khoa

Bài 1. Thực hiện các phép tính

a) \[\left( {3 + 5i} \right) + \left( {2 + 4i} \right)\]          b) \[\left( { – 2 – 3i} \right) + \left( { – 1 – 7i} \right)\]          c) \[\left( {4 + 3i} \right) – \left( {5 – 7i} \right)\]          d) \[\left( {2 – 3i} \right) – \left( {5 – 4i} \right)\]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 2. Tính \[\alpha + \beta ,\alpha – \beta \] với

a) \[\alpha = 3,\beta = 2i\]          b) \[\alpha = 1 – 2i,\beta = 6i\]          c) \[\alpha = 5i,\beta = – 7i\]          d) \[\alpha = 15,\beta = 4 – 2i\]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau

a) \[\left( {3 – 2i} \right)\left( {2 – 3i} \right)\]          b) \[\left( { – 1 – 2i} \right)\left( {3 + 7i} \right)\]          c) \[5\left( {4 + 3i} \right)\]          d) \[\left( { – 2 – 5i} \right)4i\]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 4. Tính \[{i^3},{i^4},{i^5}\]. Nêu cách tính \[{i^n}\] với \[n\] là số tự nhiên tùy ý

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 5. Tính a) \[{\left( {2 + 3i} \right)^2}\]          b) \[{\left( {2 + 3i} \right)^3}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

PHÉP CHIA

Tổng và tích của hai số phức liên hợp

Cho \[z = a + bi,\,\,\,\overline z = a – bi\]:

\[z + \overline z = 2a\]

\[z.\overline z = {\left| z \right|^2}\]

Phéo chia hai số phức

Cho \[z = a + bi,\,\,\,w = c + di\]:

\[\frac{z}{w} = \frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c – di} \right)}}{{\left( {c + di} \right)\left( {c – di} \right)}} = \frac{{ac + bd + \left( {bc – ad} \right)i}}{{{c^2} + {d^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \frac{{bc – ad}}{{{c^2} + {d^2}}}i\]

Ví dụ: Cho \[z=1+2i\] và \[w=2+3i\]. Tìm số phức \[u = \frac{z}{w}\]

\[u = \frac{{1 + 2i}}{{2 + 3i}} = \frac{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}}{{\left( {2 + 3i} \right)\left( {2 – 3i} \right)}} = \frac{8}{{13}} + \frac{1}{{13}}i\]

Bài tập giáo khoa

Bài 1. Thực hiện phép chia

a) \[\frac{{2 + i}}{{3 – 2i}}\]          b) \[\frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }}\]          c) \[\frac{{5i}}{{2 – 3i}}\]          d) \[\frac{{5 – 2i}}{i}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 2. Tìm nghịch đảo của số phức \[z\], biết

a) \[z = 1 + 2i\]          b) \[z = \sqrt 2 – 3i\]          c) \[z = i\]          d) \[z = 5 + i\sqrt 3 \]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 3. Thực hiện phép tính

a) \[2i\left( {3 + i} \right)\left( {2 + 4i} \right)\]          b) \[\frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^2}{{\left( {2i} \right)}^2}}}{{ – 2 + i}}\]          c) \[3 + 2i + \left( {6 + i} \right)\left( {5 + i} \right)\]          d) \[4 – 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}\]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 4. Giải các phương trình sau

a) \[\left( {3 – 2i} \right)z + \left( {4 + 5i} \right) = 7 + 3i\]          b) \[\left( {1 + 3i} \right)z – \left( {2 + 5i} \right) = \left( {2 + i} \right)z\]          c) \[\frac{z}{{4 – 3i}} + \left( {2 – 3i} \right) = 5 – 2i\]

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG

DẠNG 1. THỰC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN

Câu 1: Số phức \[z\] thỏa mãn \[\left| z \right| + z = 0\]. Khi đó:

A. \[z\] là số thuần ảo

C. Phần thực của \[z\] là số âm

B. \[\left| z \right| = 1\]

D. \[z\] là số thực nhỏ hơn hoặc bằng \[0\]

Câu 2: Cho hai số phức \[z = \left( {a – 2b} \right) – \left( {a – b} \right)i\] và \[w = 1 – 2i\]. Biết \[z = w.i\]. Tính \[S = a + b\]

A. \[S = 7\] B. \[S = -7\] C. \[S = -4\] D. \[S = -3\]

Câu 3: Số phức nghịch đảo của số phức \[z = 1 + 3i\] là 

A. \[\frac{1}{{10}}\left( {1 – 3i} \right)\] B. \[1-3i\] C. \[\frac{1}{{\sqrt {10} }}\left( {1 + 3i} \right)\] D. \[\frac{1}{{10}}\left( {1 + 3i} \right)\]

Câu 4: Tìm số phức zthỏa mãn \[\left( {2 – i} \right)\left( {1 + i} \right) + \overline z = 4 – 2i\]

A. \[z=-1+3i\] B. \[z=1-3i\] C. \[z=1+3i\] D. \[z=-1-3i\]

Câu 5:  Rút gọn biểu thức \[A = 1 + {\left( {1 + i} \right)^2} + {\left( {1 + i} \right)^4} + … + {\left( {1 + i} \right)^{10}}\]

A. \[ – 205 + 410i\] B. \[ 205 + 410i\] C. \[ – 205 – 410i\] D. \[  205 + 410i\]

Câu 6: Gọi \[a,b\] lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \[z = \left| {1 – \sqrt 3 i} \right|\left( {1 + 2i} \right) + \left| {3 – 4i} \right|\left( {2 + 3i} \right)\]. Giá trị của \[a-b\] là

A. \[7\] B. \[-7\] C. \[31\] D. \[-31\]

Câu 7:  Cho số phức zthỏa mãn: \[\left( {1 + 2z} \right)\left( {3 + 4i} \right) + 5 + 6i = 0\]. Tìm số phức \[w = 1 + z\]

A. \[w = – \frac{7}{{25}} + \frac{1}{{25}}i\] B. \[w = – \frac{7}{{25}} + \frac{1}{{5}}i\] C. \[w =  \frac{7}{{25}} + \frac{1}{{25}}i\] D. \[w = – \frac{7}{{25}} – \frac{1}{{25}}i\]

Câu 8: Cho số phức \[z = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\]. Số phức \[1 + z + {z^2}\] bằng

A. \[z=-1+3i\] B. \[z=1-3i\] C. \[z=1+3i\] D. \[z=-1-3i\]

Câu 9: Với hai số phức bất kỳ  \[{z_1},{z_2}\]. Khẳng định nào đúng

A. \[\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\]

C. \[\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\]

B. \[\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \ge \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\]

D. \[\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|\]

Câu 10: Cho \[a,b,c\] là các số thực và \[z = – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\]. Giá trị của \[\left( {a + bz + c{z^2}} \right)\left( {a + b{z^2} + cz} \right)\] bằng

A. \[0\]

C. \[{a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ca\]

B. \[a+b+c\]

D. \[{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca\]

Câu 11: Cho số phức \[z = 1 – 3i\]. Tìm số phức \[w = iz + \overline z \]

A. \[w = -4 + 4i\] B. \[w = 4 +4i\] C. \[w = 4 – 4i\] D. \[w = -4 – 4i\]

Câu 12: Biểu diễn về dạng \[z=a+bi\] của số phức \[z = \frac{{{i^{2016}}}}{{{{\left( {1 + 2i} \right)}^2}}}\]

A. \[\frac{3}{{25}} + \frac{4}{{25}}i\] B. \[\frac{3}{{25}} – \frac{4}{{25}}i\] C. \[\frac{-3}{{25}} – \frac{4}{{25}}i\] D. \[\frac{-3}{{25}} + \frac{4}{{25}}i\]

Câu 13: Nếu \[z=2i+3\] thì \[\frac{z}{{\overline z }}\] là 

A. \[\frac{{5 – 12i}}{{13}}\] B. \[\frac{{5 + 12i}}{{13}}\] C. \[\frac{{3 – 4i}}{7}\] D. \[\frac{{5 + 6i}}{{11}} – 2i\]

Câu 14: Gọi \[{z_0}\] là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình \[{z^2} – 6z + 13 = 0\]. Tìm số phức \[w = {z_0} + \frac{6}{{{z_0} + i}}\]

A. \[w = \frac{{24}}{5} + \frac{7}{5}i\] B. \[w = – \frac{{24}}{5} + \frac{7}{5}i\] C. \[w = – \frac{{24}}{5} – \frac{7}{5}i\] D. \[w = \frac{{24}}{5} – \frac{7}{5}i\]

Câu 15: Cho \[{z_1} = 2 – 2i,{z_2} = – 3 + 3i\]. Tính \[{z_1} – {z_2}\]

A. \[ – 5i\] B. \[5 – 5i\] C. \[ – 1 + i\] D. \[ – 5 + 5i\]

Câu 16: Có bao nhiêu số phức \[z\] thỏa \[\left| {\frac{{z + 1}}{{i – z}}} \right| = 1\] và \[\left| {\frac{{z – i}}{{2 + z}}} \right| = 1\]

A. \[ 4\] B. \[2\] C. \[ 3\] D. \[ 1\]

Câu 17: Cho số phức \[z=1+i\]. Khi đó \[\left| {{z^3}} \right|\] bằng

A. \[2\sqrt 2 \] B. \[4\] C. \[ 1\] D. \[\sqrt 2 \]

Câu 18: Cho số phức \[z=2+4i\]. Khi đó \[w = iz + \overline z \] bằng

A. \[w = 2 + 2i\] B. \[w = -2 – 2i\] C. \[w = 2 – 2i\] D. \[w = -2 + 2i\]

Câu 19: Cho số phức \[{z_1} = 1 + 2i,{z_2} = 3 – i\]. Tìm số phức \[z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\]

A. \[z = \frac{1}{5} – \frac{7}{5}i\] B. \[z = – \frac{1}{{10}} + \frac{7}{{10}}i\] C. \[z = \frac{1}{5} + \frac{7}{5}i\] D. \[z = \frac{1}{10} + \frac{7}{10}i\]

Câu 20: Tính \[z = \frac{{3 + 2i}}{{1 – i}} + \frac{{1 – i}}{{3 + 2i}}\]

A. \[z = \frac{{23}}{{26}} + \frac{{61i}}{{26}}\] B. \[z = \frac{{23}}{{26}} + \frac{{63i}}{{26}}\] C. \[z = \frac{{15}}{{26}} + \frac{{55i}}{{26}}\] D. \[z = \frac{{2}}{{13}} + \frac{{6i}}{{13}}\]

ĐANG UPDATE

DẠNG 2. TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO

Câu 1: Cho số phức \[z = 1 + \sqrt 3 i\]. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Phần ảo của số phức \[z\] là \[\sqrt 3 i\]

C. \[\overline z = 1 – \sqrt 3 i\]

B. Phần thực của số phức \[z\] là 1

D. Điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là \[\left( {1,\sqrt 3 } \right)\]

Câu 2: Cho hai số phức: \[{z_1} = 23i,{z_2} = – 1 + i\]. Phần ảo của số phức \[w = 2{z_1}{z_2}\] bằng

A. \[5\] B. \[7\] C. \[-5\] D. \[-7\]

Câu 3: Tổng phần thực và phần ảo của số phức \[z\] thỏa mãn \[iz + \left( {1 – i} \right)\overline z = – 2i\] bằng

A. \[-6\] B. \[2\] C. \[-2\] D. \[6\]

Câu 4: Nếu số phức \[z \ne 1\] thỏa mãn \[\left| z \right| = 1\] thì phần thực của \[\frac{1}{{1 – z}}\] bằng

A. \[1\] B. \[\frac{1}{2}\] C. \[2\] D. \[4\]

Câu 5: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Số phức \[z = 2 – 3i\] có phần thực là \[2\] phần  ảo là \[3\]

B. Số phức \[z = 2 – 3i\] có phần thực là \[2\] và phần ảo là \[-3i\]

C. Số phức \[z = 2 – 3i\] có phần thực là \[2\] và phần ảo là \[3i\]

D. Số phức \[z = 2 – 3i\]  có phần thực là \[2\] và phần ảo là \[-3\]

Câu 6: Xác định phần ảo của số phức \[z = 18 – 12i\]. 

A. \[12\] B. \[-12i\] C. \[-12\] D. \[18\]

Câu 7: Gọi \[a,b\] lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \[z = \left| {1 – \sqrt 3 i} \right|\left( {1 + 2i} \right) + \left| {3 – 4i} \right|\left( {2 + 3i} \right)\]. Giá trị của \[a – b\] là

A. \[31\] B. \[-31\] C. \[7\] D. \[-7\]

Câu 8: Cho số phức có \[z\] số phức liên hợp\[\overline z = 3 – 2i\]. Tổng phần thực và phần ảo của số phức \[z\] bằng.

A. \[ – 1\] B. \[  1\] C. \[ – 5\] D. \[  5\]

Câu 9: Cho số phức \[{z_1} = 1 + i\] và \[{z_2} = 2 – 3i\] . Tìm liên hợp của số phức \[w = {z_1} + {z_2}\] 

A. \[\overline w = 1 – 4i\] B. \[\overline w = -1 + 4i\] C. \[\overline w = 3 + 2i\] D. \[\overline w = 3 – 2i\]

Câu 10: Tìm phần thực và phần ảo của số phức \[z = – i\]

A. Phần thực là \[ – 1\] phần ảo là  \[i\]

B. Phần thực là \[ 0\] phần ảo là  \[-1\]

C. Phần thực là \[ 0\] phần ảo là  \[-i\]

D. Phần thực là \[ – i\] phần ảo là  \[0\]

DẠNG 3. SỐ PHỨC LIÊN HỢP

DẠNG 4. TÌM MÔĐUN SỐ PHỨC

DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 

Quét mã code thường xuyên để cập nhật bài mới

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *