Bài 1. Nguyên hàm

NGUYÊN HÀM

Tải tài liệu

ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số \[f(x)\] xác định trên \[K\]

Hàm \[F(x)\] được gọi là nguyên hàm của \[f(x)\] trên \[K\] nếu \[F'(x)=f(x)\] với mọi  \[x \in K\]

Ví dụ: \[f\left( x \right) = 2x,\,\,\,F\left( x \right) = {x^2}\], \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] vì \[F’\left( x \right) = f\left( x \right)\]

ĐỊNH LÍ 1

Nếu \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên \[K\] thì \[F\left( x \right) + C\] cũng là một nguyên hàm của \[f(x)\] trên \[K\]. (\[C\] là hằng số)

Ví dụ: \[f\left( x \right) = 2x,\,\,\,F\left( x \right) = {x^2} + 2\], \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] vì \[F’\left( x \right) = f\left( x \right)\]

ĐỊNH LÍ 2

Nếu \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên \[K\] thì mọi nguyên hàm của \[f(x)\] trên \[K\] đều có dạng \[F\left( x \right) + C\] với \[C\] là hằng số

KÍ HIỆU:

\[\boxed{\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} }\]

CHÚ Ý:  biểu thức \[{f\left( x \right)dx}\] là vi phân của nguyên hàm \[F(x)\] của \[f(x)\], vì \[{\text{d}}F\left( x \right) = F’\left( x \right)dx = f\left( x \right)dx\]

TÍNH CHẤT

\[\int {f’\left( x \right)dx = f\left( x \right) + C} \]

\[\int {kf\left( x \right)dx = k\int {f\left( x \right)dx} } \], (\[k\] là hằng số khác 0)

\[\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx = \int {f\left( x \right)dx} } \pm \int {g\left( x \right)dx} \]

ĐỊNH LÍ 3

Mọi hàm số \[{f\left( x \right)}\] liên tục trên \[K\] đều có nguyên hàm trên \[K\]

BẢNG NGUYÊN HÀM

\[\int {0dx = C} \]
\[\int {dx = x + C} \]
\[\int {xdx = \frac{{{x^2}}}{2} + C} \] \[\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} \]
\[\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \] \[\int {\frac{1}{{{x^n}}}dx = \frac{{ – 1}}{{\left( {n – 1} \right){x^{n – 1}}}} + C} \,\,\left( {n \ne 1} \right)\]
\[\int {\left( {ax + b} \right)dx = \frac{{a{x^2}}}{2} + bx + C} \] \[\int {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx = \frac{1}{a}.\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C} \left( {a \ne 0} \right)\]
\[\int {\frac{1}{{\sqrt x }}dx = 2\sqrt x + C} \] \[\int {\frac{1}{{\sqrt {ax + b} }}dx = \frac{2}{a}\sqrt {ax + b} + C} \]
\[\int {\frac{1}{{ax + b}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C} \]
\[\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \] \[\int {{e^{ax + b}}dx = \frac{1}{a}{e^{ax + b}} + C} \]
\[\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C} \left( {0 < a \ne 1} \right)\] \[\int {{a^u}du = \frac{{{a^u}}}{{\ln a}} + C} \left( {0 < a \ne 1} \right)\]
\[\int {{a^{kx}}dx = \frac{{{a^{kx}}}}{{k.\ln a}} + C} \left( {0 < a \ne 1,k \ne 0} \right)\] \[\int {{a^{bx + c}}dx = \frac{{{a^{bx + c}}}}{{b.\ln a}} + C} \]
\[\int {\sin xdx = – \cos x + C} \] \[\int {\cos xdx = \sin x + C} \]
\[\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C} \] \[\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C} \]
\[\int {\tan xdx = – \ln \left| {\cos x} \right| + C} \left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\] \[\int {\cot xdx = \ln \left| {\sin x} \right| + C} \left( {x \ne k\pi } \right)\]
\[\int {\tan \left( {ax + b} \right)dx = – \frac{1}{a}\ln \left| {\cos \left( {ax + b} \right)} \right| + C} \] \[\int {\cot \left( {ax + b} \right)dx = \frac{1}{a}\ln \left| {\sin \left( {ax + b} \right)} \right| + C} \]
\[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = – \cot x + C} \left( {x \ne k\pi } \right)\] \[\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\]
\[\int {\frac{1}{{\sin \left( {ax + b} \right)}}dx = \frac{1}{a}\ln \left| {\tan \frac{{ax + b}}{2}} \right| + C} \] \[\int {\frac{1}{{\cos \left( {ax + b} \right)}}dx = – \frac{1}{a}\ln \left| {\cot \frac{{ax + b}}{2}} \right| + C} \]
\[\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx = – \frac{1}{a}\cot \left( {ax + b} \right) + C} \] \[\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {ax + b} \right)}}dx = \frac{1}{a}\tan \left( {ax + b} \right) + C} \]
\[\int {\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = x – \frac{1}{x} + C} \] \[\int {\left( {1 – \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = x + \frac{1}{x} + C} \]

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

Đổi biến số hàm vô tỉ:

Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có chứa \[\root n \of {g\left( x \right)} \]

Đặt \[t = \root n \of {g\left( x \right)} \Leftrightarrow {t^n} = g\left( x \right) \Rightarrow n.{t^{n – 1}} = g’\left( x \right)dx\]

Khi đó \[\int {f\left( x \right)dx = \int {f\left( t \right)dt} } \]. Việc tính \[{\int {f\left( t \right)dt} }\] sẽ dễ hơn \[{\int {f\left( x \right)dx} }\]

Ví dụ: Tính \[I = \int {\frac{x}{{\sqrt {4x + 1} }}dx} \]

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

Đổi biến số hàm đa thức bậc cao:

Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có chứa \[{\left( {ax + b} \right)^n}\] (bậc cao)

Đặt \[t = ax + b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
dt = adx\\
x = \frac{{t – b}}{a}
\end{array} \right.\]

Khi đó \[\int {f\left( x \right)dx = \int {f\left( t \right)dt} } \]. Việc tính \[{\int {f\left( t \right)dt} }\] sẽ dễ hơn \[{\int {f\left( x \right)dx} }\]

Ví dụ: Tính \[I = \int {x{{\left( {3x + 1} \right)}^{19}}dx} \]

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

Đổi biến số hàm lượng giác:

Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có chứa \[\sqrt {{a^2} – {x^2}} \]

Đặt \[x = a\sin t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
dx = a\cos tdt\\
\sqrt {{a^2} – {x^2}} = a\cos t
\end{array} \right.\]

Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có chứa \[\sqrt {{a^2} + {x^2}} \]

Đặt \[x = a\tan t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
dx = \frac{{adt}}{{{{\cos }^2}t}}\\
\sqrt {{a^2} + {x^2}} = \frac{{\left| a \right|}}{{\cos t}}
\end{array} \right.\]

Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có chứa \[\sqrt {{x^2} – {a^2}} \]

Đặt \[x = \frac{a}{{\sin t}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
dx = \frac{{a\cos tdt}}{{{{\sin }^2}t}}\\
\sqrt {{x^2} – {a^2}} = \frac{{\left| a \right|}}{{\cot t}}
\end{array} \right.\]

Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] có chứa \[{\left( {1 + {x^2}} \right)^k}\]

Đặt \[x = \tan t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}\\
{\left( {1 + {x^2}} \right)^k} = \frac{1}{{{{\cos }^{2k}}t}}
\end{array} \right.\]

Phương pháp từng phần

Nếu \[u = u\left( x \right),\,\,v = v\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[K\] thì

\[\left( {u.v} \right)’ = u’.v + u.v’\]

\[u.v’ = \left( {u.v} \right)’ – u’.v\]

\[\int {u.v’} dx = \int {\left( {u.v} \right)’} dx – \int {u’.vdx} \]

\[\boxed{\int {u.} dv = uv – \int {vdu} }\]

Dạng 1:  \[I = \int {\left[ {\left( {đa\,\,thức} \right).\left( {lựong\,\,giác} \right)} \right]dx} \]. Đặt \[\left\{ \begin{array}{l} u = đa\,\,thức\\dv = \left( {lượng\,\,giác} \right)dx\end{array} \right.\]

Dạng 2:  \[I = \int {\left[ {\left( {da\,\,thuc} \right).\left( {ham\,\,mu} \right)} \right]dx} \]. Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}
u = da\,\,thuc\\
dv = \left( {ham\,\,mu} \right)dx
\end{array} \right.\]

Dạng 3:  \[I = \int {\left[ {\left( {da\,\,thuc} \right).\left( {ham\,\,\log } \right)} \right]dx} \]. Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}
u = ham\,\,\log \\
dv = \left( {da\,\,thuc} \right)dx
\end{array} \right.\]

Dạng 4:  \[I = \int {\left[ {\left( {luong\,\,giac} \right).\left( {ham\,\,mu} \right)} \right]dx} \]. Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}
u = luong\,\,giac\\
dv = \left( {ham\,\,mu} \right)dx
\end{array} \right.\]

Bài tập giáo khoa

Bài 1. Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là 1 nguyên hàm của hàm số còn lại

a) \[{e^{ – x}}\] và \[ – {e^{ – x}}\]          b) \[\sin 2x\] và \[{\sin ^2}x\]          b) \[{\left( {1 – \frac{2}{x}} \right)^2}.{e^x}\] và \[\left( {1 – \frac{4}{x}} \right).{e^x}\]

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 2. Tìm nguyên hàm

a) \[f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}}\]          b) \[f\left( x \right) = \frac{{{2^x} – 1}}{{{e^x}}}\]          c) \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}\]          d) \[f\left( x \right) = \sin 5x.\cos 3x\]                              e) \[f\left( x \right) = {\tan ^2}x\]          g) \[f\left( x \right) = {e^{3 – 2x}}\]          h) \[f\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 – 2x} \right)}}\]

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

a) \[\int {{{\left( {1 – x} \right)}^9}dx} \]          b) \[\int {x{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}dx} \]          c) \[\int {{{\cos }^3}x.\sin xdx} \]          d) \[\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ – x}} + 2}}} \]

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

Bài 4. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

a) \[\int {x\ln \left( {1 + x} \right)dx} \]          b) \[\int {\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^x}dx} \]          c) \[\int {x\sin \left( {2x + 1} \right)dx} \]          d) \[\int {\left( {1 – x} \right)\cos xdx} \]

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………………….

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG

DẠNG 1. SỬ DỤNG LÍ THUYẾT

Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?

(1): Mọi hàm số liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\] đều có đạo hàm trên \[\left[ {a;b} \right]\]
(2): Mọi hàm số liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\] đều có nguyên hàm trên \[\left[ {a;b} \right]\]
(3): Mọi hàm số đạo hàm trên \[\left[ {a;b} \right]\] đều có nguyên hàm trên \[\left[ {a;b} \right]\]
(4): Mọi hàm số liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\] đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên \[\left[ {a;b} \right]\]

A. \[2\] B. \[3\] C. \[1\] D. \[4\]

Câu 2. Cho hai hàm số \[f\left( x \right),g\left( x \right)\], liên tục trên \[R\]. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. \[\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \]

B. \[\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx.\int {g\left( x \right)dx} } \]

C. \[\int {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx – \int {g\left( x \right)dx} } \]

D. \[\int {kf\left( x \right)} dx = k\int {f\left( x \right)dx,\,\,\left( {k \ne 0,k \in R} \right)} \]

Câu 3. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. \[\int {kf\left( x \right)} dx = k\int {f\left( x \right)dx,\,\,\left( {k \in R} \right)} \]

B. \[\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} ,\,\,với\,\,f\left( x \right),g\left( x \right)\,\,liên\,\,tục\,\,trên\,\,R} \]

C. \[\int {{x^\alpha }dx = \frac{1}{{\alpha + 1}}{x^{\alpha + 1}}} \left( {\alpha \ne – 1} \right)\]

D. \[\left( {\int {f\left( x \right)dx} } \right)’ = f\left( x \right)\]

Câu 4. Cho hai hàm số\[f\left( x \right),g\left( x \right)\] , là hàm liên tục, có \[F\left( x \right),G\left( x \right)\] lần lượt là nguyên hàm của \[f\left( x \right),g\left( x \right)\]. Xét các mệnh đề sau:

\[\left( I \right)\]: \[F\left( x \right) + G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) + g\left( x \right)\]

\[\left( II \right)\]:  \[k.F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[k.f\left( x \right)\] với \[k \in R\]

\[\left( III \right)\]: \[F\left( x \right).G\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[F\left( x \right).G\left( x \right)\]

Các mệnh đề đúng là

A. \[\left( {II} \right)\,\,\& \,\,\left( {III} \right)\] B. Cả 3 mệnh đề C. \[\left( {I} \right)\,\,\& \,\,\left( {III} \right)\] D. \[\left( {I} \right)\,\,\& \,\,\left( {II} \right)\]

Câu 5. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[K\] và \[F(x)\] là  một nguyên hàm của \[f(x)\] trên \[K\]. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \[f’\left( x \right) = F\left( x \right),\forall x \in K\]

B. \[F’\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K\]

C. \[F\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K\]

D. \[F’\left( x \right) = f’\left( x \right),\forall x \in K\]

Câu 6. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[K\]. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên \[K\] thì với mỗi hằng số \[C\], hàm số \[G\left( x \right) = F\left( x \right) + C\] cũng là một nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên \[K\]

B. Nếu \[f(x)\] liên tục trên \[K\] thì nó có nguyên hàm trên \[K\]

C. Hàm số \[F\left( x \right)\] được gọi là một nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên \[K\] nếu \[F’\left( x \right) = f\left( x \right),\,\,\forall x \in K\]

D. Nếu hàm số \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên \[K\] thì hàm số \[F\left( { – x} \right)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] trên \[K\]

Câu 7. Cho \[f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 2}}\], chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Trên \[\left( { – 2; + \infty } \right)\], nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] là \[F\left( x \right) = \ln \left( {x + 2} \right) + {C_1}\]; trên khoảng \[\left( { – \infty ; – 2} \right)\], nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] là \[F\left( x \right) = \ln \left( { – x – 2} \right) + {C_2}\] ( \[{C_1}\] , \[{C_2}\] là các hằng số)

B. Trên khoảng \[\left( { – \infty ; – 2} \right)\], một nguyên hàm của hàm số \[f(x)\] là \[G\left( x \right) = \ln \left( { – x – 2} \right) – 3\]

C. Trên khoảng \[\left( { – 2; + \infty } \right)\], một nguyên hàm của hàm số \[f(x)\] là \[F\left( x \right) = \ln \left( {x + 2} \right)\]

D. Nếu \[F\left( x \right)\] và \[G\left( x \right)\] là hai nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] thì chúng sai khác nhau một hằng số

Câu 8. Khẳng định nào đây sai?

A. \[\int {\cos xdx = – \sin x + C} \] B. \[\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \]
C. \[\int {2xdx = {x^2} + C} \] C. \[\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \]

Câu 9. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A. \[\int {{x^3}dx = \frac{{{x^4} + C}}{4}} \] B. \[\int {\frac{1}{x}dx = \ln x + C} \]
C. \[\int {\sin xdx = C – \cos x} \] C. \[\int {2{e^x}dx = 2\left( {{e^x} + C} \right)} \]

Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. \[\int {dx = x + 2C\,\,\left( {C\,\,là\,\,hằng\,\,số} \right)} \]

B. \[\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\,\left( {C\,\,là\,\,hằng\,\,số,\,\,n \in Z} \right)} \]

C. \[\int {0dx = C\,\,\left( {C\,\,là\,\,hằng\,\,số} \right)} \]

D. \[\int {{e^x}dx = {e^x} – C\,\,\left( {C\,\,là\,\,hằng\,\,số} \right)} \]

DẠNG 2. ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM.

Câu 1. Tìm \[\int {{\pi ^2}dx} \]

A. \[{\pi ^2}x + C\] B. \[\pi 2x + C\] C. \[\frac{{{\pi ^3}}}{3} + C\] D. \[\frac{{{\pi ^2}{x^2}}}{2} + C\]

Câu 2. Nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 2{x^3} – 9\]

A. \[\frac{1}{2}{x^4} – 9x + C\] B. \[4{x^4} – 9x + C\] C. \[\frac{1}{4}{x^4} + C\] D. \[4{x^3} – 9x + C\]

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = e.{x^e} + 4\]

A. \[101376\] B. \[{e^2}.{x^{e – 1}} + C\] C. \[\frac{{{x^{e + 1}}}}{{e + 1}} + 4x + C\] D. \[\frac{{e.{x^{e + 1}}}}{{e + 1}} + 4x + C\]

Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 5{x^4} – 6{x^2} + 1\]

A. \[{x^5} – 2{x^3} + x + C\] B. \[{x^5} + 2{x^3} + x + C\] C. \[{x^5} – 2{x^2} + x + C\] D. \[{x^5} – {x^3} – x + C\]

Câu 5. Khẳng định nào sau đây sai?

A. \[\int {0dx = C} \] B. \[\int {{x^4}dx = \frac{{{x^5}}}{5} + C} \] C. \[\int {\frac{1}{x}dx = \ln x + C} \] D. \[\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \]

Câu 6. Cho  \[f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 2}}\]chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Trên \[ – 2; + \infty \] nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] là \[F\left( x \right) = \ln \left( {x + 2} \right) + {C_1}\] trên khoảng \[\left( { – \infty ; – 2} \right)\] nguyên hàm cuả hàm số \[f\left( x \right)\] là \[F\left( x \right) = \ln \left( { – x – 2} \right) + {C_2}\,\,\left( {{C_1},{C_2}{\rm{  là}}\,\,{\rm{hằng}}\,\,{\rm{số}}} \right)\].

B. Trên khoảng \[\left( { – \infty ; – 2} \right)\] một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] là \[G\left( x \right) = \ln \left( { – x – 2} \right) – 3\].

C. Trên \[\left( { – 2; + \infty } \right)\] một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right)\] là \[F\left( x \right) = \ln \left( {x + 2} \right)\].

D. Nếu \[f\left( x \right)\] và \[G\left( x \right)\] là hai nguyên hàm của \[f\left( x \right)\] thì chúng ta sai khác nhau một hằng số.

Câu 7. Khẳng định nào đây sai?

A. \[\int {\cos xdx = – \sin x + C} \]

C. \[\int {2xdx = {x^2} + C} \]

B. \[\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \]

D. \[\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \]

 Câu 8. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau

A. \[\int {{x^3}dx = \frac{{{x^4} + C}}{4}} \]

C. \[\int {\sin xdx = C – \cos x} \]

B. \[\int {\frac{1}{x}} dx = \ln x + C\]

D. \[\int {2{e^x}dx = 2\left( {{e^x} + C} \right)} \]

Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. \[\int {dx = x + 2C} \] (C là hằng số)

C. \[\int {Odx = C} \] (C là hằng số)

B. \[\int {{x^n}dx = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C} \] (C là hằng số;\[n \in \mathbb{Z}\]

D. \[\int {{e^x}dx = {e^x} – C} \] (C là hằng số)

 Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right) = {e^x} + \cos x + 2018\] là 

A. \[f\left( x \right) = {e^x} + \sin x + 2018x + C\]

C. \[f\left( x \right) = {e^x} + \sin x + 2018x\]

B. \[f\left( x \right) = {e^x} – \sin x + 2018x + C\]

D. \[f\left( x \right) = {e^x} + \sin x + 2018 + C\]

Câu 11. Nguyên hàm của hàm số\[y = {x^2} – 3x + \frac{1}{x}\] là

A. \[\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{3{x^2}}}{2} – \ln \left| x \right| + C\]

C. \[\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln x + C\]

B. \[\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{3{x^2}}}{2} + \frac{1}{{{x^2}}} + C\]

D. \[\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{3{x^2}}}{2} + \ln \left| x \right| + C\]

Câu 12. Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{a}{{{x^2}}} + \frac{b}{x} + 2\]với\[a,b\] , là các số hữu tỉ thỏa điều kiện \[\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( x \right)dx = 2 – 3\ln 2} \]. Tính \[T = a + b\]

A. \[T = – 1\] B. \[T = 2\] C. \[T = – 2\] D. \[T = 0\]

Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5\] là

A. \[F\left( x \right) = 3{x^2} + {x^2} + 5\]

C. \[F\left( x \right) = 3{x^2} + {x^2} + 5x + C\]

B. \[F\left( x \right) = {x^3} + x + C\]

D. \[F\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + C\]

Câu 14. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right) = {\left( {3x + 1} \right)^5}\]?

A. \[F\left( x \right) = \frac{{{{(3x + 1)}^6}}}{{18}} + 8\]

C.\[F\left( x \right) = \frac{{{{(3x + 1)}^6}}}{{18}}\]

B. \[F\left( x \right) = \frac{{{{(3x + 1)}^6}}}{{18}} – 2\]

D. \[F\left( x \right) = \frac{{{{(3x + 1)}^6}}}{6}\]

Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}\] là

A. \[\frac{{ – {x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C\] B. \[\frac{{ – 2}}{{{x^2}}} – 2x + C\] C. \[ – \frac{{{x^4} + {x^2} + 3}}{{3x}} + C\] D. \[\frac{{ – {x^3}}}{3} – \frac{1}{x} – \frac{x}{3} + C\]

Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right) = 7{x^6} + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} – 2\] là

A. \[{x^7} + \ln \left| x \right| – \frac{1}{x} – 2x\]

C. \[{x^7} + \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} – 2x + C\]

B. \[{x^7} + \ln \left| x \right| + \frac{1}{x} – 2x + C\]

D. \[{x^7} + \ln \left| x \right| – \frac{1}{x} – 2x + C\]

 Câu 17.  Nguyên hàm của\[f\left( x \right) = {x^3} – {x^2} + 2\sqrt x \] là

A. \[\frac{1}{4}{x^4} – {x^3} + \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C\]

C. \[\frac{1}{4}{x^4} – {x^3} + \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\]

B. \[\frac{1}{4}{x^4} – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{4}{3}\sqrt {{x^3}} + C\]

D. \[\frac{1}{4}{x^4} – \frac{1}{3}{x^3} + \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} + C\]

Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right) = 3\sqrt x + {x^{2018}}\] là

A. \[\sqrt x + \frac{{{x^{2019}}}}{{673}} + C\]

C. \[\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{{{x^{2019}}}}{{673}} + C\]

B. \[2\sqrt {{x^3}} + \frac{{{x^{2019}}}}{{2019}} + C\]

D. \[\frac{1}{{2\sqrt x }} + 6054{x^{2017}} + C\]

Câu 19. Hàm số là nguyên hàm \[F\left( x \right) = {e^x} + \tan x + C\]của hàm số\[f\left( x \right)\] nào

A. \[f\left( x \right) = {e^x} – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\]

C. \[f\left( x \right) = {e^x}\left( {1 + \frac{{{e^{ – x}}}}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\]

B. \[f\left( x \right) = {e^x} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\]

D. \[f\left( x \right) = {e^x}\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\]

 Câu 20. Với  \[\int {f\left( x \right)dx = \frac{1}{x}} + \ln \left| {2x} \right| + C\] nếu \[x \in \left( {0; + \infty } \right)\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] là

A. \[f\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{x}\]

C. \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}} + \ln \left( {2x} \right)\]

B. \[f\left( x \right) = \sqrt x + \frac{1}{{2x}}\]

D. \[f\left( x \right) = – \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2x}}\]

ĐANG UPDATE….

DẠNG 3. NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ

Câu 1. Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{5 + 2{x^4}}}{{{x^2}}}\]. Khi đó

A. \[\int {f\left( x \right)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{5}{x} + C} \]

B. \[\int {f\left( x \right)dx = 2{x^3} – \frac{5}{x} + C} \]

C. \[\int {f\left( x \right)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{5}{x} + C} \]

D. \[\int {f\left( x \right)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + 5\ln {x^2} + C} \]

Câu 2. Nhuyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)^2}\] là hàm số nào?

A. \[F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{x} + 2x + C\]

B. \[F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{1}{x} + 2x + C\]

C. \[F\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x} \right):\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right) + C\]

D. \[F\left( x \right) = {\left[ {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x} \right):\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right]^3} + C\]

Câu 3. Nguyên hàm của hàm số \[y = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\] là

A. \[\frac{{2{x^3}}}{3} – \frac{3}{x} + C\] B. \[ – 3{x^3} – \frac{3}{x} + C\] C. \[\frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C\] D. \[\frac{{{x^3}}}{3} – \frac{3}{x} + C\]

Câu 4. Tính \[\int {\left( {\frac{1}{{2x + 3}}} \right)dx} \]

A. \[\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C\] B. \[\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C\] C. \[2\ln \left| {2x + 3} \right| + C\] D. \[\ln \left| {2x + 3} \right| + C\]

Câu 5. Nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 1}}\], biết \[F\left( {\frac{{e – 1}}{2}} \right) = \frac{3}{2}\] là:

A. \[2\ln \left| {2x + 1} \right| – 0,5\] B. \[2\ln \left| {2x + 1} \right| + 1\] C. \[\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right| + 1\] D. \[\ln \left| {2x + 1} \right| + 0,5\]

Câu 6. Nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{x – 1}}\], biết \[F\left( 2 \right) = 1\]. Tính \[F\left( 3 \right)\]

A. \[\ln 2 – 1\] B. \[\ln 2 + 1\] C. \[\frac{1}{2}\] D. \[\frac{7}{4}\]

Câu 7. Nguyên hàm \[F\left( x \right)\] của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{x + 1}}\], biết \[F\left( 0 \right) = 2\]. Tính \[F\left( 1 \right)\]

A. \[\ln 2\] B. \[\ln 2 + 2\] C. \[3\] D. \[4\]

Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {3 – 2x} \right)}^3}}}\] là

A. \[\frac{{ – 1}}{{2{{\left( {3 + 2x} \right)}^2}}} + C\] B. \[\frac{1}{{4\left( {3 – 2x} \right)}} + C\] C. \[\frac{2}{{{{\left( {3 – 2x} \right)}^2}}} + C\] D. \[\frac{1}{{2{{\left( {3 – 2x} \right)}^2}}} + C\]

Câu 9. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{x\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\]

A. \[\frac{{{x^2} – x – 1}}{{x + 1}}\] B. \[\frac{{{x^2} + x – 1}}{{x + 1}}\] C. \[\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\] D. \[\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\]

Câu 10. Tính \[\int {\frac{1}{{x\left( {x + 3} \right)}}dx} \]

A. \[\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x – 3}}} \right| + C\] B. \[\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 3}}{x}} \right| + C\] C. \[\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{x}{{x + 3}}} \right| + C\] D. \[\frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x – 3}}{x}} \right| + C\]

ĐANG UPDATE…

DẠNG 4. NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ

Câu 1. Tính \[\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 – x} }}} \]

A. \[\frac{C}{{\sqrt {1 – x} }}\] B. \[ – 2\sqrt {1 – x} + C\] C. \[\frac{2}{{\sqrt {1 – x} }} + C\] D. \[\sqrt {1 – x} + C\]

Câu 2. Cho \[\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x + 1} }} = a\left( {x + 2} \right)\sqrt {x + 2} + b\left( {x + 1} \right)\sqrt {x + 1} + C} \]. Khi đó \[3a + b\] bằng 

A. \[\frac{{ – 2}}{3}\] B. \[\frac{{ 1}}{3}\] C. \[\frac{{ 4}}{3}\] D. \[\frac{{ 2}}{3}\]

Câu 3. Biết \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }} + m – 1\] thỏa mãn \[F\left( 0 \right) = 0\] và \[F\left( 3 \right) = 7\]. Khi đó \[m\] bằng

A. \[ – 2\] B. \[3\] C. \[-3\] D. \[2\]

Câu 4. Tìm \[\int {\sqrt {\frac{{x – 1}}{{x + 1}}} dx} \]

A. \[\sqrt {{x^2} – 1} + \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C\] B. \[\sqrt {{x^2} – 1} – \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| + C\]
C. \[\ln \left| {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right| – \sqrt {{x^2} – 1} + C\] D. Cả B, C đúng

Câu 5. Hàm số \[F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right)\sqrt {4x + 1} \] (\[a,b\] là số thực) là 1 nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{12x}}{{\sqrt {4x + 1} }}\]. Tính \[a+b\]

A. \[ 0\] B. \[1\] C. \[2\] D. \[3\]

Câu 6. Hàm số \[F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x – 3} \left( {a,b,c \in Z} \right)\] là 1 nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{20{x^2} – 30x + 11}}{{\sqrt {2x – 3} }}\] trên khoảng \[\left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\]. Tính \[a+b+c\]

A. \[ 0\] B. \[1\] C. \[2\] D. \[3\]

Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt x + 3x\sqrt[3]{{{x^2}}}\] là

A. \[\frac{{2x\sqrt[3]{x}}}{4} + \frac{{9x\sqrt {{x^2}} }}{8} + C\] B. \[\frac{{5x\sqrt x }}{3} + \frac{{27{x^2}\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{8} + C\]
C. \[\frac{{2x\sqrt x }}{3} – \frac{{9{x^2}\sqrt[3]{x}}}{5} + C\] D. \[\frac{{2x\sqrt x }}{3} + \frac{{9{x^2}\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{8} + C\]

Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}} + 3\] là

A. \[2\sqrt x + 3\sqrt[2]{{{x^2}}} + 3x + C\] B. \[2\sqrt x + \frac{4}{3}\sqrt[2]{{{x^2}}} + 3x + C\]
C. \[\frac{1}{2}\sqrt x + 3\sqrt[2]{{{x^2}}} + 3x + C\] D. \[\frac{1}{2}\sqrt x + \frac{4}{3}\sqrt[2]{{{x^2}}} + 3x + C\]

Câu 9. Tìm \[F\left( x \right)\] là nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sqrt {x + 1} – \frac{1}{{{x^2}}}\]. Biết \[F\left( 3 \right) = 6\]

A. \[\frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} – \frac{1}{x} + \frac{1}{3}\] B. \[\frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} + \frac{1}{x} + \frac{1}{3}\]
C. \[\frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} – \frac{1}{x} – \frac{1}{3}\] D. \[\frac{2}{3}\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} + \frac{1}{x} – \frac{1}{3}\]

Câu 10. Cho \[f\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x – 1} \] là 1 nguyên hàm của \[g\left( x \right) = \frac{{10{x^2} – 7x + 2}}{{\sqrt {2x – 1} }}\] trên khoảng \[\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\]. Tính \[a+b+c\]

A. \[ 2\] B. \[1\] C. \[0\] D. \[3\]

ĐANG UPDATE……

DẠNG 5. NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = 2\cos 2x\] là

A. \[ – 2\sin 2x + C\] B. \[\sin 2x + C\] C. \[2\sin x + C\] D. \[ – \sin 2x + C\]

Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \sin 5x + 2\] là

A. \[ – \frac{1}{5}\cos 5x + 2x + C\] B. \[5\cos 5x  + C\] C. \[\frac{1}{5}\cos 5x + 2x + C\] D. \[\cos 5x + 2x + C\]

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số\[{\cos ^2}2x\] là

A. \[\frac{1}{2} + \frac{{\cos 4x}}{8} + C\] B. \[\frac{x}{2} + \frac{{\cos 4x}}{2} + C\] C. \[\frac{1}{2} – \frac{{\cos 4x}}{2} + C\] D. \[\frac{x}{2} + \frac{{\cos 4x}}{8} + C\]

Câu 4. Họ nguyên hàm của hàm số\[f\left( x \right) = \cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)\] là

A. \[\frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C\] B. \[\frac{1}{3}\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C\] C. \[\frac{1}{3}\cos \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) + C\] D. \[3\sin \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right)\]

Câu 5. Cho \[F\left( x \right) = \cos 2x – \sin + C\] là nguyên hàm của \[f\left( x \right)\]. Tính \[f\left( \pi \right)\]

A. \[f\left( \pi \right) = – 3\] B. \[f\left( \pi \right) = 1\] C. \[f\left( \pi \right) = – 1\] D. \[f\left( \pi \right) = 0\]

Câu 6. Tính \[\int {\frac{{dx}}{{1 + \cos x}}} \]

A. \[2\tan \frac{x}{2} + C\] B. \[\tan \frac{x}{2} + C\] C. \[\frac{1}{2}\tan \frac{x}{2} + C\] D. \[\frac{1}{4}\tan \frac{x}{2} + C\]

Câu 7. Tính \[\int {{{\tan }^2}xdx} \]

A. \[\cot x – x + C\] B. \[\tan x – x + C\] C. \[ – \cot x – x + C\] D. \[ – \tan x – x + C\]

Câu 8. Tính \[\int { – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \]. Biết \[F\left( 0 \right) = 1\]

A. \[ – \tan x\] B. \[ – \tan x + 1\] C. \[ \tan x + 1\] D. \[\tan x – 1\]

Câu 9. Tính \[\int {{{\sin }^4}2xdx} \]

A. \[\frac{1}{8}\left( {3x + \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + C\] B. \[\frac{1}{8}\left( {3x – \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + C\]
C. \[\frac{1}{8}\left( {3x + \cos 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + C\] D. \[\frac{1}{8}\left( {3x – \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + C\]

Câu 10. Biết \[F(x)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \sin \left( {1 – 2x} \right)\] và thỏa mãn \[F\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1\]. Mệnh đề nào đúng

A. \[ – \frac{1}{2}\cos \left( {1 – 2x} \right) + \frac{3}{2}\] B. \[\cos \left( {1 – 2x} \right)\]
C. \[\cos \left( {1 – 2x} \right) + 1\] D. \[\frac{1}{2}\cos \left( {1 – 2x} \right) + \frac{1}{2}\]

ĐANG UPDATE…

DẠNG 6. NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT

Câu 1. Tính \[\int {{5^{2x}}dx} \]

A. \[2.\frac{{{5^{2x}}}}{{\ln 5}} + C\] B. \[\frac{{{5^{2x}}}}{{2\ln 5}} + C\] C. \[{2.5^{2x}}\ln 5 + C\] D. \[\frac{{{{25}^{x + 1}}}}{{x + 1}} + C\]

Câu 2. Tính \[\int {{e^{2018x}}dx} \]

A. \[\frac{1}{{2018}}{e^{2018x}} + C\] B. \[{e^{2018x}} + C\] C. \[2018{e^{2018x}} + C\] D. \[{e^{2018x}}\ln 2018 + C\]

Câu 3. Cho hàm số \[f(x)\] thỏa mãn \[f’\left( x \right) = {2018^x}\ln 2018 – \cos x\] và \[f\left( 0 \right) = 2\]. Hàm số  \[f(x)\] là

A. \[{2018^x} + \sin x\] B. \[\frac{{{{2018}^x}}}{{\ln 2018}} + \sin x\] C. \[\frac{{{{2018}^x}}}{{\ln 2018}} – \sin x\] D. \[{2018^x} – \sin x + 1\]

Câu 4. Tính \[\int {{{\left( {2 + {e^{3x}}} \right)}^2}dx} \]

A. \[3x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\] B. \[4x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{5}{6}{e^{6x}} + C\]
C. \[4x + \frac{4}{3}{e^{3x}} – \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\] D. \[4x + \frac{4}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{6}{e^{6x}} + C\]

Câu 5. Nếu \[F(x)\] là một nguyên hàm của \[f\left( x \right) = {e^x}\left( {1 – {e^{ – x}}} \right)\] và \[F\left( 0 \right) = 3\] thì \[F(x)\] là

A. \[{e^x} – x\] B. \[{e^x} – x + 2\] C. \[{e^x} – x + 1\] D. \[{e^x} – x -1\]

Câu 6. Tính \[\int {{2^{2x}}{{.3}^x}{{.7}^x}dx} \]

A. \[\frac{{{{84}^x}}}{{\ln 84}} + C\] B. \[\frac{{{2^{2x}}{{.3}^x}{{.7}^x}}}{{\ln 4.\ln 3.\ln 7}} + C\] C. \[{84^x} + C\] D. \[{84^x}\ln 84 + C\]

Câu 7. Tính \[\int {\frac{{{e^{2x + 1}} – 2}}{{\sqrt[3]{{{e^x}}}}}dx} \]

A. \[\frac{5}{3}{e^{\frac{5}{3}x + 1}} – \frac{2}{3}{e^{ – \frac{x}{3}}} + C\] B. \[\frac{5}{3}{e^{\frac{5}{3}x + 1}} + \frac{2}{3}{e^{\frac{x}{3}}} + C\]
C. \[\frac{5}{3}{e^{\frac{5}{3}x + 1}} – \frac{2}{3}{e^{\frac{x}{3}}} + C\] D. \[\frac{5}{3}{e^{\frac{5}{3}x + 1}} + \frac{2}{3}{e^{ – \,\,\frac{x}{3}}} + C\]

Câu 8. Cho \[F(x)\] là nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{1}{{{e^x} + 3}}\] và \[F\left( 0 \right) = – \frac{1}{3}\ln 4\]. Tập nghiệm của \[3F\left( x \right) + \ln \left( {{e^x} + 3} \right) = 2\] là

A. \[\left\{ 2 \right\}\] B. \[\left\{ -2;2 \right\}\] C. \[\left\{ 1;2 \right\}\] D. \[\left\{ -2;1 \right\}\]

Câu 9. Hàm số \[F\left( x \right) = \frac{1}{{27}}{e^{3x + 1}}\left( {9{x^2} – 24x + 17} \right) + C\] là nguyên hàm của hàm số nào dưới đây

A. \[\left( {{x^2} + 2x – 1} \right){e^{3x + 1}}\] B. \[\left( {{x^2} – 2x – 1} \right){e^{3x + 1}}\]
C. \[\left( {{x^2} – 2x + 1} \right){e^{3x + 1}}\] D. \[\left( {{x^2} – 2x – 1} \right){e^{3x – 1}}\]

Câu 10. Cho hai hàm số \[F\left( x \right) = \left( {{x^2} + ax + b} \right){e^{ – x}}\] và \[f\left( x \right) = \left( { – {x^2} + 3x + 6} \right){e^{ – x}}\]. Tìm \[a,b\] để \[F(x)\] là một nguyên hàm của \[f(x)\]

A. \[a=1,b=-7\] B. \[a=-1,b=-7\] C. \[a=-1,b=7\] D. \[a=1,b=7\]

ĐANG UPDATE…

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN

Câu 1. Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\]. Khi đó nguyên hàm của \[f(x)\] là 

A. \[2\ln \left( {1 + {x^2}} \right) + C\] B. \[3\ln \left( {1 + {x^2}} \right) + C\] C. \[4\ln \left( {1 + {x^2}} \right) + C\] D. \[\ln \left( {1 + {x^2}} \right) + C\]

Câu 2. Cho hàm số \[f\left( x \right) = x{\left( {{x^2} + 1} \right)^4}\]. Biết \[F\left( x \right)\] là một nguyên hàm của \[f(x)\], đồ thị của \[y = F\left( x \right)\] đi qua điểm \[M\left( {1;6} \right)\]. Khi đó \[F\left( x \right)\] là

A. \[\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^4}}}{4} – \frac{2}{5}\] B. \[\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^5}}}{{10}} – \frac{{15}}{8}\] C. \[\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^5}}}{{10}} + \frac{{15}}{8}\] D. \[\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^5}}}{{10}} + \frac{{14}}{5}\]

Câu 3. Tính \[\int {\frac{{ – 2x}}{{1 – {x^2}}}dx} \] thu được kết quả là

A. \[\frac{{1 + x}}{{1 – x}} + C\] B. \[\frac{x}{{1 – x}} + C\] C. \[\frac{1}{{1 – x}} + C\] D. \[\ln \left| {1 – {x^2}} \right| + C\]

Câu 4. Họ nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + 4x + 4}}\] là

A. \[2\ln \left| {{x^2} + x + 4} \right| + C\]

C. \[\frac{{\ln \left| {{x^2} + x + 4} \right|}}{2} + C\]

B. \[\ln \left| {{x^2} + x + 4} \right| + C\]

D. \[4\ln \left| {{x^2} + x + 4} \right| + C\]

Câu 5. Họ nguyên hàm của \[f\left( x \right) = \frac{{2 + x}}{{{x^2} + 4x – 4}}\] là

A. \[\frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} + 4x – 4} \right| + C\]

C. \[2\ln \left| {{x^2} + 4x – 4} \right| + C\]

B. \[\ln \left| {{x^2} + 4x – 4} \right| + C\]

D. \[4\ln \left| {{x^2} + 4x – 4} \right| + C\]

Câu 6. Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\] là

A. \[2\ln \left| {{x^2} + 4} \right| + C\]

C. \[\ln \left| {{x^2} + 4} \right| + C\]

B. \[\frac{1}{2}\ln \left| {{x^2} + 4} \right| + C\]

D. \[4\ln \left| {{x^2} + 4} \right| + C\]

Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{3{x^2}}}{{{x^3} + 4}}\] là

A. \[3\ln \left| {{x^3} + 4} \right| + C\]

C. \[\ln \left| {{x^3} + 4} \right| + C\]

B. \[ – 3\ln \left| {{x^3} + 4} \right| + C\]

D. \[ – \ln \left| {{x^3} + 4} \right| + C\]

Câu 8. Một nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\] là

A. \[\frac{1}{2}\ln \left| {x + 1} \right|\] B. \[2\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\] C. \[\frac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\] D. \[\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\]

Câu 9. Tính \[F\left( x \right) = \int {\frac{{{x^3}}}{{{x^4} – 1}}dx} \]

A. \[F\left( x \right) = \ln \left| {{x^4} – 1} \right| + C\]

C. \[F\left( x \right) = \frac{1}{2}\ln \left| {{x^4} – 1} \right| + C\]

B. \[F\left( x \right) = \frac{1}{4}\ln \left| {{x^4} – 1} \right| + C\]

D. \[F\left( x \right) = \frac{1}{3}\ln \left| {{x^4} – 1} \right| + C\]

Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{\cos x – 3}}\] là

A. \[ – \ln \left| {\cos x – 3} \right| + C\]

C. \[ – \frac{{\ln \left| {\cos x – 3} \right| + C}}{2}\]

B. \[2\ln \left| {\cos x – 3} \right| + C\]

D. \[4\ln \left| {\cos x – 3} \right| + C\]

ĐANG UPDATE…

ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC

Câu 1. Cho \[\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C} \]. Khi đó với \[a \ne 0\], ta có \[\int {f\left( {ax + b} \right)dx} \] bằng

A. \[\frac{1}{{2a}}F\left( {ax + b} \right) + C\]

C. \[\frac{1}{a}F\left( {ax + b} \right) + C\]

B. \[aF\left( {ax + b} \right) + C\]

D. \[F\left( {ax + b} \right) + C\]

Câu 2. Hàm số \[f\left( x \right) = x{\left( {1 – x} \right)^{10}}\] có nguyên hàm là

A. \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^{12}}}}{{12}} – \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^{11}}}}{{11}} + C\]

C. \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^{11}}}}{{11}} + \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^{10}}}}{{10}} + C\]

B. \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^{12}}}}{{12}} + \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^{11}}}}{{11}} + C\]

D. \[F\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^{11}}}}{{11}} – \frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^{10}}}}{{10}} + C\]

Câu 3. Tính \[\int {\frac{{dx}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)x}}} \] thu được kết quả là

A. \[\ln \left| x \right|\left( {{x^2} + 1} \right) + C\]

C. \[\ln \frac{{\left| x \right|}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + C\]

B. \[\ln \left| x \right|\sqrt {{x^2} + 1} + C\]

D. \[\frac{1}{2}\ln \frac{{{x^2}}}{{1 + {x^2}}} + C\]

Câu 4. Tính \[\int {x{{\left( {x + 1} \right)}^3}dx} \] là

A. \[\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^5}}}{5} + \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}{4} + C\]

C. \[\frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{3{x^4}}}{4} + {x^3} – \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

B. \[\frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^5}}}{5} – \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}{4} + C\]

D. \[\frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{3{x^4}}}{4} – {x^3} + \frac{{{x^2}}}{2} + C\]

Câu 5. Họ nguyên hàm của \[f\left( x \right) = x{\left( {{x^2} + 7} \right)^{15}}\] là

A. \[\frac{1}{2}{\left( {{x^2} + 7} \right)^{16}} + C\]

C. \[\frac{1}{{16}}{\left( {{x^2} + 7} \right)^{16}} + C\]

B. \[ – \frac{1}{{32}}{\left( {{x^2} + 7} \right)^{16}} + C\]

D. \[\frac{1}{{32}}{\left( {{x^2} + 7} \right)^{16}} + C\]

Câu 6. Xét \[I = \int {{x^3}{{\left( {4{x^4} – 3} \right)}^5}dx} \]. Bằng cách đặt \[u = 4{x^4} – 3\], khẳng định nào đúng

A. \[I = \frac{1}{{16}}\int {{u^5}du} \] B. \[I = \frac{1}{{12}}\int {{u^5}du} \] C. \[I = \int {{u^5}du} \] D. \[I = \frac{1}{4}\int {{u^5}du} \]

Câu 7. Cho \[\int {2x{{\left( {3x – 2} \right)}^6}dx = A{{\left( {3x – 2} \right)}^8} + B{{\left( {3x – 2} \right)}^7} + C} \], \[\left( {A,B \in Q,C \in R} \right)\]. Giá trị của \[12A + 7B\] là

A. \[\frac{{23}}{{252}}\] B. \[\frac{{241}}{{252}}\] C. \[\frac{{52}}{{9}}\] D. \[\frac{{7}}{{9}}\]

Câu 8. Giả sử \[\int {x{{\left( {1 – x} \right)}^{2017}}dx = \frac{{{{\left( {1 – x} \right)}^a}}}{a} – \frac{{{{\left( {1 – x} \right)}^b}}}{b} + C} \], với \[a,b\] nguyên dương. Tính \[2a-b\] bằng

A. \[2017\] B. \[2018\] C. \[2019\] D. \[2020\]

Câu 9. Nguyên hàm của \[\int {\frac{x}{{{x^2} + 1}}dx} \] là

A. \[\ln \left| t \right| + C,\,\,voi\,\,t = {x^2} + 1\]

C. \[\frac{1}{2}\ln \left| t \right| + C,\,\,voi\,\,t = {x^2} + 1\]

B. \[ – \ln \left| t \right| + C,\,\,voi\,\,t = {x^2} + 1\]

D. \[ – \frac{1}{2}\ln \left| t \right| + C,\,\,voi\,\,t = {x^2} + 1\]

Câu 10. Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x}}{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^4}}}\] là

A. \[ – \frac{1}{{5{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^5}}} + C\]

C. \[ – \frac{4}{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^5}}} + C\]

B. \[ – \frac{1}{{3{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^3}}} + C\]

D. \[ – \frac{1}{{{{\left( {{x^2} + 9} \right)}^3}}} + C\]

ĐANG UPDATE…

ĐỔI BIẾN SỐ HÀM CHỨA CĂN THỨC

ĐANG UPDATE…

ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC

ĐANG UPDATE…

ĐỔI BIẾN SỐ HÀM MŨ-LOG

ĐANG UPDATE…

NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

ĐANG UPDATE…

Quét mã code thường xuyên để cập nhật các dạng bài tập mới

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *