Home / Chương 2 - Mũ, Log / Bài 1. Lũy thừa

Bài 1. Lũy thừa

LŨY THỪA

Tải tài liệu

KHÁI NIỆM LŨY THỪA

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho \[n\] là một số nguyên dương. Với \[a\] là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \[n\] của \[a\] là tích của \[n\] thừa số \[a\].

\[{a^n} = \underbrace {a.a.a…a}_{n\,\,\,thừa\,\,\,số}\]

Với \[a \ne 0:\,\,\,{a^0} = 1;\,\,\,{a^{ – n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\]

Chú ý: \[{0^0}\,\,\,và\,\,\,{0^{ – n}}\] không có nghĩa

 

Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức \[A = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ – 10}}{.27^{ – 3}} + {\left( {0,2} \right)^{ – 4}}{.25^{ – 2}} + {128^{ – 1}}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – 9}}\]

Hướng dẫn:

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức \[B = \left[ {\frac{{a\sqrt 2 }}{{{{\left( {1 + {a^2}} \right)}^{ – 1}}}} – \frac{{2\sqrt 2 }}{{{a^{ – 1}}}}} \right].\frac{{{a^{ – 3}}}}{{1 – {a^{ – 2}}}},\,\,\,\left( {a \ne 0,a \ne \pm 1} \right)\]

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

2. Phương trình \[{x^n} = b\]

Với \[n\] lẻ:

Với mọi \[b\] phương trình \[{x^n} = b\] có nghiệm duy nhất

Với \[n\] chẵn:

\[b<0\] phương trình \[{x^n} = b\] vô nghiệm

\[b=0\] phương trình \[{x^n} = b\] có 1 nghiệm \[x=0\]

\[b>0\] phương trình \[{x^n} = b\] có 2 nghiệm đối nhau

3. Căn bậc \[n\]

Cho số thực \[b\] và số nguyên dương \[n\] \[\left( {n \ge 2} \right)\]. Số \[a\] được gọi là căn bậc \[n\] của \[b\] nếu \[{a^n} = b\]

Với \[n\] lẻ và \[b \in R\]:

Có duy nhất một căn bậc \[n\] của \[b\]

Với \[n\] chẵn và

\[b < 0\]: không tồn tại căn bậc \[n\] của \[b\]

\[b = 0\]: có một căn bậc \[n\] của \[b\] là số 0

\[b > 0\]: có 2 căn bậc \[n\] trái dấu của \[b\]

Tính chất: 

\[\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\]

\[\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}\]

\[{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]

\[\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ \begin{array}{l}a,\,\,khi\,\,n\,\,lẻ\\\left| a \right|,\,\,khi\,\,n\,\,chẵn\end{array} \right.\]

\[\sqrt[n]{{\sqrt[k]{a}}} = \sqrt[{n.k}]{a}\]

4. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

\[{a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\]

\[m \in Z,\,\,n \in N,\,\,n \ge 2\]

Ví dụ. Rút gọn biểu thức \[D = \frac{{{x^{\frac{5}{4}}}.y + x.{y^{\frac{5}{4}}}}}{{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}}\,\,\,\,\left( {x,y > 0} \right)\]

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

5. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Cho \[a\] là số dương, \[\alpha \] là số vô tỉ

\[{a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\,\,\,\,\,voi\,\,\,\,\,\alpha = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}\]

Ví dụ tính \[{3^{\sqrt 2 }} \approx 4,728804388\] (dùng máy tính)

6. Lũy thừa với số mũ thực

\[{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\]

\[\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha – \beta }}\]

\[{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}\]

\[{\left( {a.b} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }\]

\[{\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\]

Nếu \[a > 1:{a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta \]

Nếu \[a < 1:{a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta \]

Ví dụ. Rút gọn biểu thức \[E = \frac{{{a^{\sqrt 7 + 1}}.{a^{2 – \sqrt 7 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 – 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}\,\,\,\left( {a > 0} \right)\]

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

Ví dụ. So sánh \[{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{\sqrt 8 }}\,\,và\,\,{\left( {\frac{3}{4}} \right)^3}\]

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

Bài tập giáo khoa

Bài 1. Tính

a) \[{9^{\frac{2}{5}}}{.27^{\frac{2}{5}}}\]          b) \[{144^{\frac{3}{4}}}:{9^{\frac{3}{4}}} \]          c) \[{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}} + {0,25^{ – \frac{5}{2}}}\]          d) \[{\left( {0,04} \right)^{ – 1,5}} – {\left( {0,125} \right)^{ – \frac{2}{3}}}\]

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với mũ hữu tỉ

a) \[{a^{\frac{1}{3}}}.\sqrt a \]          b) \[{b^{\frac{1}{2}}}.{b^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[b]{b}\]          c) \[{a^{\frac{4}{3}}}:\sqrt[3]{a}\]          d) \[\sqrt[3]{b}:{b^{\frac{1}{6}}}\]

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 3. Viết theo thứ tự tăng dần

a) \[{1^{3,75}};\,\,{2^{ – 1}};\,\,{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – 3}}\]          b) \[{98^0};\,\,{\left( {\frac{3}{7}} \right)^{ – 1}};\,\,{32^{\frac{1}{5}}}\]

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 4. Rút gọn

a) \[\frac{{{a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{ – \frac{1}{3}}} + {a^{\frac{2}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{ – \frac{1}{4}}}} \right)}}\]

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

b) \[\frac{{{b^{\frac{1}{5}}}\left( {\sqrt[5]{{{b^4}}} – \sqrt[5]{{{b^{ – 1}}}}} \right)}}{{{b^{\frac{2}{3}}}\left( {\sqrt[3]{b} – \sqrt[3]{{{b^{ – 2}}}}} \right)}}\]

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

c) \[\frac{{{a^{\frac{1}{3}}}.{b^{ – \frac{1}{3}}} – {a^{ – \frac{1}{3}}}.{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\]

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

d) \[\frac{{{a^{\frac{1}{3}}}.\sqrt b + {b^{\frac{1}{3}}}.\sqrt a }}{{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}}}\]

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

Bài 5. Chứng minh

a) \[{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2\sqrt 5 }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{3\sqrt 2 }}\]          b) \[{7^{6\sqrt 3 }} > {7^{3\sqrt 6 }}\]

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………

BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG

TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA

Câu 1: Giá trị của biểu thức \[A = \frac{{{2^3}{{.2}^{ – 1}} + {5^{ – 3}}{{.5}^4}}}{{{{10}^{ – 3}}:{{10}^{ – 2}} – {{\left( {0,1} \right)}^0}}}\] là

A. \[9\] B. \[-9\] C. \[-10\] D. \[10\]

Câu 2: Giá trị của biểu thức \[B = {3^{\sqrt 2 – 1}}{.9^{\sqrt 2 }}{.27^{1 – \sqrt 2 }}\] là

A. \[27\] B. \[9\] C. \[1\] D. \[3\]

Câu 3: Giá trị của biểu thức \[C = {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ – 0,75}} + {\left( {\frac{1}{8}} \right)^{ – \frac{4}{3}}}\] là

A. \[16\] B. \[24\] C. \[18\] D. \[12\]

Câu 4. Biết \[{4^x} + {4^{ – x}} = 23\]. Tính giá trị của \[{2^x} + {2^{ – x}}\]

A. \[5\] B. \[\sqrt {27} \] C. \[\sqrt {23} \] D. \[25\]

Câu 5: Giá trị của biểu thức \[A = {\left( {a + 1} \right)^{ – 1}} + {\left( {b + 1} \right)^{ – 1}}\] với \[a = {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ – 1}},b = {\left( {2 – \sqrt 3 } \right)^{ – 1}}\] là.

A. \[3\] B. \[2\] C. \[1\] D. \[4\]

Câu 6: Tính giá trị của biểu thức \[P = {\left( {7 + 4\sqrt 3 } \right)^{2017}}.{\left( {4\sqrt 3 – 7} \right)^{2016}}\]

A. \[1\] B. \[7 – 4\sqrt 3 \] C. \[7 + 4\sqrt 3 \] D. \[ – 1\]

Câu 7: Viết biểu thức \[\sqrt {\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt[4]{8}}}} \] về dạng \[{2^x}\] và biểu thức \[\frac{{2\sqrt 8 }}{{\sqrt[3]{4}}}\] về dạng \[{2^y}\]. Tính \[{x^2} + {y^2}\]

A. \[\frac{{2017}}{{567}}\] B. \[\frac{{11}}{{6}}\] C. \[\frac{{53}}{{24}}\] D. \[\frac{{2017}}{{576}}\]

Câu 8: Viết biểu thức \[\frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}}\] về dạng lũy thừa \[{2^m}\] thì \[m\] bằng?

A. \[ – \frac{{13}}{6}\] B. \[  \frac{{13}}{6}\] C. \[ – \frac{{5}}{6}\] D. \[  \frac{{5}}{6}\]

Câu 9: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \[\sqrt[3]{{ – 1}} = {\left( { – 1} \right)^{\frac{1}{3}}}\] B. \[{\left( { – 0,1} \right)^0} = 1\] C. \[{\left( { – \pi } \right)^1} = – \pi \] D. \[{\left( { – 0,5} \right)^{ – 1}} = – 2\]

Câu 10: Cho \[{2^x} = \sqrt[6]{{\sqrt[5]{{\sqrt[4]{{\sqrt[3]{{\sqrt 2 }}}}}}}}\]. Khi đó giá trị của \[x\] là

A. \[\frac{1}{{6!}}\] B. \[\frac{1}{{5!}}\] C. \[\frac{1}{{4!}}\] D. \[\frac{1}{{3!}}\]

BIẾN ĐỔI, RÚT GỌN, BIỂU DIỄN CÁC BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA

Câu 11: Đơn giản biểu thức \[\sqrt[4]{{{x^8}{{\left( {x + 1} \right)}^4}}}\] ta được 

A. \[{x^2}\left( {x + 1} \right)\] B. \[ – {x^2}\left( {x + 1} \right)\] C. \[{x^2}\left( {x – 1} \right)\] D. \[{x^2}\left| {x + 1} \right|\]

Câu 12: Đơn giản biểu thức \[\sqrt[3]{{{x^3}{{(x + 1)}^9}}}\] ta được 

A. \[ – x{(x + 1)^3}\] B. \[x{(x + 1)^3}\] C. \[\left| {x{{(x + 1)}^3}} \right|\] D. \[x\left| {{{(x + 1)}^3}} \right|\]

Câu 13: Viết biểu thức \[P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{x}}}(x > 0)\]  dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ. 

A. \[P = {x^{\frac{1}{{12}}}}\] B. \[P = {x^{\frac{5}{{12}}}}\] C. \[P = {x^{\frac{1}{7}}}\] D. \[P = {x^{\frac{5}{4}}}\]

Câu 14: Cho biểu thức \[P = \sqrt[4]{{{x^2}\sqrt[3]{x}}},(x > 0)\] Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. \[P = {x^{\frac{7}{{12}}}}\] B. \[P = {x^{\frac{8}{{12}}}}\] C. \[P = {x^{\frac{6}{{12}}}}\] D. \[P = {x^{\frac{9}{{12}}}}\]

Câu 15: Viết biểu thức \[P = a.\sqrt[3]{{{a^2}.}}\sqrt a (a > 0)\] dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ 

A. \[P = {a^{\frac{5}{3}}}\] B. \[P = {a^{\frac{5}{6}}}\] C. \[P = {a^{\frac{{11}}{6}}}\] D. \[P = {a^2}\]

Câu 16: Cho \[a > 0\] Đẳng thức nào sau đây đúng? 

A. \[\sqrt a \sqrt[3]{a} = \sqrt[4]{a}\] B. \[\frac{{\sqrt {{a^3}} }}{{\sqrt[3]{{{a^2}}}}} = {a^{\frac{5}{6}}}\] C. \[({a^{2{)^4}}} = {a^6}\] D. \[\sqrt[7]{{{a^5}}} = {a^{\frac{7}{5}}}\]

Câu 17: Giả sử \[a\] là số thực dương, khác  1. Biểu thức \[\sqrt {a\sqrt[3]{a}} \] được viết dưới dạng \[{a^\alpha }\]. Khi đó 

A. \[\alpha = \frac{{11}}{6}\] B. \[\alpha = \frac{5}{3}\] C. \[\alpha = \frac{2}{3}\] D. \[\alpha = \frac{1}{6}\]

Câu 18: Cho \[f(x) = \frac{{\sqrt x \sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{\sqrt[6]{x}}}\] khi đó \[f\left( {1,3} \right)\] bằng:

A. \[0,13\] B. \[1,3\] C. \[0,013\] D. \[13\]

Câu 19: Cho \[f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}\sqrt[4]{x}\sqrt[{12}]{{{x^5}}}\]. Khi đó \[f\left( {2,7} \right)\] bằng 

A. \[0,027.\] B. \[0,27.\] C. \[2,7\] D. \[27\]

Câu 20: Bạn An trong quá trình biến đổi đã làm như sau: \[\root 3 \of { – 27} \,\,\mathop = \limits^{\left( 1 \right)} \,\,{\left( { – 27} \right)^{\frac{1}{3}}}\,\,\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} \,\,{\left( { – 27} \right)^{\frac{2}{6}}}\,\,\mathop = \limits^{\left( 3 \right)} \,\,{\root 6 \of {\left( { – 27} \right)} ^2}\,\,\mathop = \limits^{\left( 4 \right)} \,\,3\] bạn đã sai ở bước nào? 

A. \[(4).\] B. \[(2).\] C. \[(3).\] D. \[(1).\]

 Đang update….

Quét mã code thường xuyên để cập nhật các dạng mới

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *