Home / Đại 11 Chương 4 / Bài 1. Giới hạn của dãy số

Bài 1. Giới hạn của dãy số

GIỚI HẠN DÃY SỐ

Tải tài liệu

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Định nghĩa 1.

Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có giới hạn bằng \[0\] khi \[n\] dần đến dương vô cực, nếu \[\left| {{u}_{n}} \right|\] có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}\,\,\,hay\,\,\,{{u}_{n}}\to 0\,\,\,khi\,\,n\to +\infty \]

Ví dụ: Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\]  với \[{{u}_{n}}=\frac{1}{n}\]:

Khi \[n=1;2;3,…,100,…\] thì \[{{u}_{1}}=1;\,\,{{u}_{2}}=\frac{1}{2};\,\,{{u}_{3}}=\frac{1}{3};…;{{u}_{100}}=\frac{1}{100};…\], khi \[n\] dần đến một số vô cùng lớn thì phân số vô cùng bé hay dần đến \[0\]

Ví dụ: Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] với \[{{u}_{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{n}^{2}}}\]. Chứng minh \[\left| {{u}_{n}} \right|\] có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi

Chẳng hạn: \[\left| {{u}_{n}} \right|<0,001\,\,\,hay\,\,\,\left| \frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{n}^{2}}} \right|<0,001\]\[\Leftrightarrow \frac{1}{{{n}^{2}}}<\frac{1}{1000}\]\[\Leftrightarrow {{n}^{2}}>1000\,\,\,hay\,\,n>100\]

Vậy \[\left| {{u}_{n}} \right|<0,001\,\] kể từ số hạng thứ 101 trở đi

Nếu chứng minh được  \[\left| {{u}_{n}} \right|\] nhỏ hơn một số dương bất kì nghĩa là chứng minh được \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=0\]

Định nghĩa 2. 

Dãy số \[\left( {{v}_{n}} \right)\] có giới hạn là \[a\] nếu \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{v}_{n}}-a \right)=0\]

Kí hiệu: \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=a\,\,\,hay\,\,\,{{v}_{n}}\to a\,\,\,khi\,\,\,n\to +\infty \]

Ví dụ: Chứng minh \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=2\] với \[{{v}_{n}}=\frac{2n+1}{n}\]

Ta đi chứng minh \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{v}_{n}}-2 \right)=0\] để \[\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=2\]

Có: \[\,\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{v}_{n}}-2 \right)=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{2n+1}{n}-2 \right)=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{n} \right)=0\,\Rightarrow \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{v}_{n}}=2\]

Một vài giới hạn đặc biệt

\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{n}=0;\,\,\,\,\,\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{n}^{k}}}=0\left( k\in {{Z}^{*}} \right);\,\,\,\,\,\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{q}^{n}}=0\,\,\left( \left| {{q}^{n}} \right|<1 \right);\,\,\,\,\,\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,c=c\left( c\,\,là\,\,hằng\,\,số \right)\]

Chú ý: Từ đây vế sau thay cho \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{u}_{n}}=a\] là \[\lim {{u}_{n}}=a\]

ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Nếu \[\lim {{u}_{n}}=a,\lim {{v}_{n}}=b\]:

\[\begin{align}& \lim \left( {{u}_{n}}\pm {{v}_{n}} \right)=a\pm b \\& \lim \left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)=a.b \\& \lim \left( \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}} \right)=\frac{a}{b}\left( b\ne 0 \right) \\\end{align}\]

Nếu \[\left\{ \begin{align}& {{u}_{n}}\ge 0\left( \forall n \right) \\& \lim {{u}_{n}}=a \\\end{align} \right.\]\[\Rightarrow \]\[\left\{ \begin{align}& a\ge 0 \\& \lim \sqrt{{{u}_{n}}}=\sqrt{a} \\\end{align} \right.\]

TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội \[q\], với \[\left| q \right|<1\]

Cho cấp số nhân lùi vô hạn \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có công bội \[q\]

\[{{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}\left( 1-{{q}^{n}} \right)}{1-q}=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}-\left( \frac{{{u}_{1}}}{1-q} \right).{{q}^{n}}\]

\[\lim {{S}_{n}}=\lim \left[ \frac{{{u}_{1}}}{1-q}-\left( \frac{{{u}_{1}}}{1-q} \right).{{q}^{n}} \right]\]

Vì \[\left| q \right|<1\Rightarrow \lim {{q}^{n}}=0\Rightarrow \lim {{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}\]

Như vậy \[S=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}\,\,\left( \left| q \right|<1 \right)\]

GIỚI HẠN VÔ CỰC 

Định nghĩa

Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có giới hạn \[+\infty \] khi \[n\to +\infty \] nếu  \[{{u}_{n}}\] có thể lớn hơn 1 số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi

Kí hiệu: \[\lim {{u}_{n}}=+\infty \,\,\,hay\,\,\,{{u}_{n}}\to +\infty \,\,\,khi\,\,\,n\to +\infty \]

Dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] có giới hạn \[-\infty \] khi \[n\to +\infty \,\,\,nếu\,\,\,\lim \left( -{{u}_{n}} \right)=+\infty \]

Kí hiệu: \[\lim {{u}_{n}}=-\infty \,\,\,hay\,\,\,{{u}_{n}}\to -\infty \,\,\,khi\,\,\,n\to +\infty \]

Nhận xét: \[\lim {{u}_{n}}=+\infty \,\,\Leftrightarrow \lim \left( -{{u}_{n}} \right)=-\infty \]

Ví dụ: Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] với \[{{u}_{n}}={{n}^{2}}\]. Chứng minh \[{{u}_{n}}\] có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ số hạng nào đó trở đi

Chẳng hạn: \[{{u}_{n}}>100\,\,\,hay\,\,\,{{n}^{2}}>100\,\,\,khi\,\,\,n>10\]

Vậy \[{{u}_{n}}>100\] kể từ số hạng thứ 11 trở đi

Chẳng hạn: \[{{u}_{n}}>1000\,\,\,hay\,\,\,{{n}^{2}}>1000\,\,\,khi\,\,\,n>100\]

Vậy \[{{u}_{n}}>1000\] kể từ số hạng thứ 101 trở đi

Nếu chứng minh được  \[{{u}_{n}}\] lớn hơn một số dương bất kì nghĩa là chứng minh được \[\lim {{u}_{n}}=+\infty \]

Một vài giới hạn đặc biệt

\[\lim {{n}^{k}}=+\infty \left( k\in {{Z}^{*}} \right);\,\,\,\,\,\lim {{q}^{n}}=+\infty \left( q>1 \right)\]

Định lí

\[\left\{ \begin{align}& \lim {{u}_{n}}=a \\& \lim {{v}_{n}}=\pm \infty \\\end{align} \right.\]\[\Rightarrow \lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=0\]

\[\left\{ \begin{align}& \lim {{u}_{n}}=a>0 \\& \lim {{v}_{n}}=0 \\& {{v}_{n}}>0\,\,\forall n \\\end{align} \right.\]\[\Rightarrow \lim \frac{{{u}_{n}}}{{{v}_{n}}}=+\infty \]

\[\left\{ \begin{align}& \lim {{u}_{n}}=+\infty \\& \lim {{v}_{n}}=a>0 \\\end{align} \right.\]\[\Rightarrow \lim \left( {{u}_{n}}.{{v}_{n}} \right)=+\infty \]

BÀI TẬP THEO DẠNG

DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Câu 1. Giá trị của \[\lim \frac{1}{n+1}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 2. Giá trị của \[\lim \frac{1}{{{n}^{k}}}\left( k\in {{N}^{*}} \right)\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 3. Giá trị của \[\lim \frac{{{\sin }^{2}}n}{n+2}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 4. Giá trị của \[\lim \left( 2n+1 \right)\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 5. Giá trị của \[\lim \frac{1-{{n}^{2}}}{n}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 6. Giá trị của \[\lim \frac{2}{n+1}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 7. Giá trị của \[\lim \frac{\cos n+\sin n}{{{n}^{2}}+1}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 8. Giá trị của \[\lim \frac{\sqrt{n+1}}{n+2}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 9. Giá trị của \[\lim \frac{3{{n}^{3}}+n}{{{n}^{2}}}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 10. Giá trị của \[\lim \frac{2-n}{\sqrt{n+1}}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

…đang update…

DẠNG 2. TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN

Câu 1. Cho dãy số \[\left( {{u}_{n}} \right)\] với \[{{u}_{n}}=\frac{4}{{{4}^{n}}}\,\,\,\And \,\,\,\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}<\frac{1}{2}\]. Giá trị của \[\lim {{u}_{n}}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 2. Giá trị của \[\lim \left( 5-\frac{n\cos 2n}{{{n}^{2}}+1} \right)\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 3. Giá trị của \[\lim \frac{2n+1}{1-3n}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 4. Giá trị của \[\lim \frac{4{{n}^{2}}+3n+1}{{{\left( 3n-1 \right)}^{2}}}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 5. Giá trị của \[\lim \frac{-{{n}^{2}}+2n+1}{\sqrt{3{{n}^{4}}+2}}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 6. Giá trị của \[\lim \frac{3n-{{n}^{4}}}{4n-5}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 7. Giá trị của \[\lim \frac{\sqrt{{{n}^{3}}-2n+5}}{3+5n}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 8. Giá trị của \[\lim \frac{2{{n}^{2}}+3n+1}{3{{n}^{2}}-n+2}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 9. Giá trị của \[\lim \frac{\sqrt{{{n}^{2}}+2n}}{n-\sqrt{3{{n}^{2}}+1}}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

Câu 10. Giá trị của \[\lim \frac{{{\left( 2{{n}^{2}}+1 \right)}^{4}}{{\left( n+2 \right)}^{9}}}{{{n}^{17}}+1}\] bằng

………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………..

…đang update…

Quét mã code thường xuyên để cập nhật bài tập mới và xem hướng dẫn

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *