Bài 1 – Đại cương về phương trình

I. Khái niệm về phương trình

1. Phương trình 1 ẩn

Phương trình chứa ẩn \[x\] là mệnh đề chứa biến có dạng \[f\left( x \right) = g\left( x \right)\] (1)

\[f\left( x \right)\& g\left( x \right)\] là những biểu thức của \[x\]

Nếu có số thực \[{{x_0}}\] sao cho \[f\left( {{x_0}} \right) = g\left( {{x_0}} \right)\] là mệnh đề đúng thì \[{{x_0}}\] được gọi là nghiệm của phương trình (1)

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó

Nếu không có nghiệm nào ta nói phương trình (1) vô nghiệm

2. Điều kiện của một phương trình

Để giải phương trình điều đầu tiên là tìm điều kiện để nó xác định

Nếu phương trình có chứa căn thì tìm điều kiện để căn có nghĩa

Nếu phương trình có phân thức chứa biến ở mẫu thì tìm điều kiện để phân thức có nghĩa

…

Ví dụ: phương trình \[3 – {x^2} = \frac{x}{{\sqrt {2 – x} }}\]. Điều kiện xác định là \[2 – x > 0 \Leftrightarrow x < 2\]

Ví dụ: phương trình \[\frac{1}{{{x^2} – 1}} = \sqrt {x + 3} \]. Điều kiện xác định là \[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 1 \ne 0\\
x + 3 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \pm 1\\
x \ge – 3
\end{array} \right.\]

3. Phương trình nhiều ẩn

Ví dụ: \[3x + 2y = {x^2} – 2xy + 8\,\,\left( * \right)\] là phương trình hai ẩn

Khi \[x=2\], \[y=1\] thì hai vế của \[\left( * \right)\] bằng nhau ta nói cặp số \[\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\] là nghiệm của \[\left( * \right)\]

4. Phương trình tham số

Ví dụ: \[\left( {m + 1} \right)x – 3 = 0\] là phương trình chứa tham số \[m\]

Giải và biện luận xét xem giá trị nào của \[m\] thì phương trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

II. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả

1. Phương trình tương đương

Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm

2. Phép biến đổi tương đương

Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng 1 biểu thức

Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng 1 biểu thức có giá trị khác 0

Nếu thực hiện các phép biến đổi mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì được gọi là phép biến đổi tương đương

3. Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình \[f\left( x \right) = g\left( x \right)\] đều là nghiệm của \[{f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\] thì \[{f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\] được gọi là phương trình hệ quả của \[f\left( x \right) = g\left( x \right)\]

Ta viết \[f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\]

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu ta gọi đó là nghiệm ngoại lai (loại nghiệm ngoại lai)