18 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 – chủ đề 4

CHỦ ĐỀ 4

CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHIA HẾT

1. Định nghĩa

Cho 2 số tự nhiên \[a,b\left( {b \ne 0} \right)\], nếu có số tự nhiên \[x\] sao cho \[b.x=a\], thì \[a\] chia hết cho \[b\]. Ta có phép chia \[a:b=x\]

2. Các dấu hiệu chia hết

a) Dấu hiệu chia hết cho 2

Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi số tận cùng của chữ số đó là chẵn

b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)

Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3 (hoặc 9)

c) Dấu hiệu chia hết cho 5

Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số tận cùng của chữ số đó là 0 hoặc 5

d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)

Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 4 (hoặc 25)

e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)

Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho 8 (hoặc 125)

f) Dấu hiệu chia hết cho 11

Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giũa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn (từ trái sáng phải) chia hết cho 11

3. Tính chất của 2 quan hệ chia hết

0 chia hết cho \[b\] với \[b\] là số tự nhiên khác 0

\[a\] chia hết cho \[a\] vơi mọi \[a\] là số tự nhiên khác 0

Nếu \[a\,\, \vdots \,\,b\] và \[b\,\, \vdots \,\,a\] thì \[a=b\]

Nếu  \[a\,\, \vdots \,\,b\] và \[b\,\, \vdots \,\,c\] thì \[a\,\, \vdots \,\,c\]

Nếu \[a\,\, \vdots \,\,b\] và \[a\,\, \vdots \,\,c\] mà \[\left( {b,c} \right) = 1\] thì \[a\] chia hết cho \[b.c\]

Nếu \[a\,\, \vdots \,\,m\] và \[a\,\, \vdots \,\,n\] thì \[a\,\, \vdots \,\,BCNN\left( {m,n} \right)\]

Nếu \[a.b\,\, \vdots \,\,c\] và \[(b,c)=1\] thì \[a\,\, \vdots \,\,c\]

Nếu \[a\,\, \vdots \,\,m\] thì \[k.a\,\, \vdots \,\,m\] \[\forall k \in N\]

Nếu \[a\,\, \vdots \,\,m\] và \[b\,\, \vdots \,\,m\] thì \[\left( {a \pm b} \right)\,\, \vdots \,\,m\]

Nếu \[a\,\, \vdots \,\,m\], \[b\] không chia hết \[m\] thì \[\left( {a \pm b} \right)\] không chia hết cho \[m\]

Nếu \[a\,\, \vdots \,\,m\], \[b\,\, \vdots \,\,n\] thì \[a.b\,\, \vdots \,\,m.n\]

Nếu \[a.b\,\, \vdots \,\,m\] và \[m\] là số nguyên tố thì \[a\,\, \vdots \,\,m\] hoặc \[b\,\, \vdots \,\,m\]

Nếu \[a\,\, \vdots \,\,m\] thì \[{a^n}\,\, \vdots \,\,m,\,\,n \in N\]

Nếu \[a\,\, \vdots \,\,b\] thì \[{a^n}\,\, \vdots \,\,{b^n},n \in N\]

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

PHƯƠNG PHÁP 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết

Để chứng minh \[a\,\, \vdots \,\,b,\left( {b \ne 0} \right)\], ta viết \[a\] dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có 1 thừa số bằng \[b\] ( hoặc chia hết \[b\])

Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng số có dạng \[\overline {aaaaaa} \,\, \vdots \,\,7\]

Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng số có dạng \[\overline {abcabc} \] bao giờ cũng chia hết 11, chia hết 7 và chia hết 13

Ví dụ 3: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn được một số chia hết 11

PHƯƠNG PHÁP 2:

Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu

Để chứng minh \[a\,\, \vdots \,\,b\] ta làm như sau:

Viết  lại \[a = m + n\] sao cho \[\left\{ \begin{array}{l}m\,\, \vdots \,\,b\\n\,\, \vdots \,\,b\end{array} \right.\]

Viết  lại \[a = m – n\] sao cho \[\left\{ \begin{array}{l}m\,\, \vdots \,\,b\\n\,\, \vdots \,\,b\end{array} \right.\]

Để chứng minh \[a\] không chia hết \[b\] ta viết \[a\] dưới dạng tổng của các số mà chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho \[b\] còn các số khác đều chia hết cho \[b\]

Ví dụ 1. Chứng tỏ rằng:

a) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3

b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4

Dùng tính chất chia hết của một tích

Để chứng minh \[a\,\, \vdots \,\,b,\left( {b \ne 0} \right)\] ta chưng minh theo các cách sau:

Ta chứng minh \[\left( {a.m} \right)\,\, \vdots b,\,\,\left( {m,b} \right) = 1 \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,b\]

Biểu diễn \[b = m.n\,\,voi\,\,\left( {m,n} \right) = 1\] sau đó chứng minh \[a\,\, \vdots \,\,m\], \[a\,\, \vdots \,\,n\]

Biểu diễn \[a = {a_1}.{a_2};\,\,\,b = {b_1}.{b_2}\] sau đó chứng minh \[{a_1}\,\, \vdots \,\,{b_1},\,\,\,{a_2}\,\, \vdots \,\,{b_2}\]

Ví dụ 1. Chứng minh \[\left( {1980a + 1995b} \right)\,\, \vdots \,\,15,\,\,\forall a,b \in N\]

Ví dụ 2. Chứng minh tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8

PHƯƠNG PHÁP 3: Dùng định lí về chia có dư

…

PHƯƠNG PHÁP 4: Dùng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng

…

PHƯƠNG PHÁP 5: Dùng nguyên tắc Đirichlet

…

BÀI TẬP VẬN DỤNG: