Home / Uncategorized / 18 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 – chủ đề 3

18 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 – chủ đề 3

CHỦ ĐỀ 3

CÁC BÀI TOÁN VỀ LŨY THỪ SỐ TỰ NHIÊN

KIẾN THỨC CẦN NẮM

Lũy thừa với số mũ tự nhiên: \[{a^n} = \underbrace {a.a.a…a}_{n\,\,thua\,\,so}\]

Qui ước: \[{a^0} = 1,\,\,\left( {a \ne 0} \right);\,\,{a^1} = a\,\,\]

Các phép tính lũy thừa:

Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \[{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\]

Chia hai lũy thừa cùng cơ số: \[{a^m}:{a^n} = {a^{m – n}}\], \[\left( {a \ne 0,m \ge n} \right)\]

Lũy thừa của một tích: \[{\left( {a.b} \right)^n} = {a^n}.{b^n}\]

Lũy thừa của một thương: \[{\left( {a:b} \right)^n} = {a^n}:{b^n},\left( {b \ne 0} \right)\]

Lũy thừa của một lũy thừa: \[{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\]

Lũy thừa tầng: \[{a^{{m^n}}} = {a^{\left( {{m^n}} \right)}}\]

Lũy thừa với số mũ âm: \[{a^{ – n}} = \frac{1}{{{a^n}}},\,\,\left( {a \ne 0} \right)\]

CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI LŨY THỪA

PHƯƠNG PHÁP 1: 

Để so sánh ta thường đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ

Nếu hai lũy thừa cùng cơ số (lớn hơn 1) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì sẽ lơn hơn: \[{a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n,\,\,\,\left( {a > 1} \right)\]

Nếu hai lũy thừa cùng số mũ (lớn hơn 0) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn: \[{a^n} > {b^n} \Leftrightarrow a > b,\,\,\,\left( {n > 0} \right)\]

Ví dụ 1: So sánh các lũy thừa sau:

a) \[{128^7}\,\,\& \,\,{4^{24}}\]          b) \[{81^8}\,\,\& \,\,{27^{11}}\]

Ví dụ 2: So sánh  các lũy thừa sau:

a) \[{5^{36}}\,\,\& \,\,{11^{24}}\]          b) \[{32^{60}}\,\,\& \,\,{81^{50}}\]          c) \[{3^{500}}\,\,\& \,\,{7^{300}}\]

Ví dụ 3: So sánh  các lũy thừa sau:

a) \[{3^{2n}}\,\,\& \,\,{2^{3n}},\,\,\left( {n \in {N^*}} \right)\]          b) \[{2^{100}}\,\,\& \,\,{3^{200}}\]          c) \[{5^{100}}\,\,\& \,\,{3^{500}}\]

PHƯƠNG PHÁP 2: 

Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa

Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân:

\[A > B\,\,\& \,\,B > C\,\,thì\,\,A > C\]

\[A.C < B.C \Leftrightarrow A < B,\,\,\left( {C > 0} \right)\]

Ví dụ 1: So sánh các lũy thừa sau:

a) \[{107^{50}}\,\,\& \,\,{73^{75}}\]          b) \[{2^{91}}\,\,\& \,\,{5^{35}}\]

Ví dụ 2: So sánh  các lũy thừa sau:

a) \[{107^{50}}\,\,\& \,\,{73^{75}}\]          b) \[{2^{91}}\,\,\& \,\,{5^{35}}\]          c) \[{54^4}\,\,\& \,\,{21^{12}}\]          d) \[{9^8}\,\,\& \,\,{8^9}\]

Dạng 2: So sánh biêu thức lũy thừa với một số

Thu gọn biểu thức bằng cách vận dụng các phép tính lũy thừa

Vận dụng các phương pháp so sánh

Nếu biểu thức là dạng phân thức: đối với bậc của lũy thừa ở tử lơn hơn hay bé hơn mẫu mà ta nhân hệ số thích hợp nhằm mục đích tách phần nguyên rồi so sánh từng phần tương ứng

Với \[a,n,m,K \in {N^*}\] ta có:

Nếu \[m>n\] thì \[K – \frac{a}{m} > K – \frac{a}{n}\,\,\,\,\,\& \,\,\,\,\,K + \frac{a}{m} < K + \frac{a}{n}\]

Nếu \[m<n\] thì \[K – \frac{a}{m} < K – \frac{a}{n}\,\,\,\,\,\& \,\,\,\,\,K + \frac{a}{m} > K + \frac{a}{n}\]

Với biểu thức là tổng các số \[\frac{1}{{{a^2}}}\left( {a \in {N^*}} \right)\] ta có vận dụng so sánh sau:

\[\frac{1}{a} – \frac{1}{{a + 1}} < \frac{1}{{{a^2}}} < \frac{1}{{a – 1}} – \frac{1}{a}\]

Ví dụ 1: Cho \[S = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + … + {2^9}\]. So sánh \[S\] với \[{5.2^8}\]

Ví dụ 2: So sánh hai biểu thức A và B trong từng trường hợp sau:

a) \[A = \frac{{{{10}^{15}} + 1}}{{{{10}^{16}} + 1}}\,\,\,\,\,\& \,\,\,\,\,B = \frac{{{{10}^{16}} + 1}}{{{{10}^{17}} + 1}}\]          b) \[A = \frac{{{2^{2008}} – 3}}{{{2^{2007}} – 1}}\,\,\,\,\,\& \,\,\,\,\,B = \frac{{{2^{2007}} – 3}}{{{2^{2006}} – 1}}\]

Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừa, tìm cơ số (số mũ) chưa biết

Với các số tự nhiên \[m,x,p\] và số dương \[a\]:

Nếu \[a>1\] thì: \[{a^m} < {a^x} < {a^p} \Rightarrow m < x < p\]

Nếu \[a<1\] thì: \[{a^m} < {a^x} < {a^p} \Rightarrow m > x > p\]

Với các số dương \[a,b\] và số tự nhiên \[m\] ta có:

\[{a^m} < {b^m} \Rightarrow a < b\]

Ví dụ 1: Tìm các số nguyên \[n\] thỏa mãn: \[{3^{64}} < {n^{48}} < {5^{72}}\]

Ví dụ 2: tìm tổng các số nguyên thỏa mãn: \[{3^{64}} < {n^{48}} < {5^{72}}\]

Ví dụ 3: Tìm tất cả các số nguyên có một chữ số sao cho: \[{3^{64}} < {n^{48}} < {5^{72}}\]

Ví dụ 4: Tìm tất cả các số nguyên có 2 chữ số sao cho: \[{3^{64}} < {n^{48}} < {5^{72}}\]

Ví dụ 5: Tìm \[x\] thuộc \[N\]. Biết:

a) \[{16^x} < {128^4}\]          b) \[{5^x}{.5^{x + 1}}{.5^{x + 2}} \le 1000000000000000000:{2^{18}}\]

Dạng 4: Một số bài toán khác

Ví dụ 1: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1; 2; 3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một lần và chỉ một lần

Ví dụ 2:

a) Số \[{5^8}\] có bao nhiêu chữ số

b) Hai số \[{2^{2003}}\,\,\& \,\,{5^{2003}}\] viết liền nhau được bao nhiêu chữ số

Ví dụ 3: Tìm số các chữ số của các số sau:

a) \[n = {8^3}{.15^5}\]          b) \[m = {4^{16}}{.5^{25}}\]

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. So sánh:

a) \[{243^5}\,\,\& \,\,{3.27^5}\] b) \[{625^5}\,\,\& \,\,{125^7}\] c) \[{99^{20}}\,\,\& \,\,{9999^{10}}\] d) \[{3^{500}}\,\,\& \,\,{7^{300}}\]
e) \[{202^{303}}\,\,\& \,\,{3^{202}}\] f) \[{11^{1979}}\,\,\& \,\,{37^{1320}}\] g) \[{8^5}\,\,\& \,\,{3.4^7}\] h) \[{10^{10}}\,\,\& \,\,{48.50^5}\]
i) \[{2^{30}} + {3^{30}} + {4^{30}}\,\,\& \,\,{3.24^{10}}\]  j) \[{1990^{10}} + {1990^9}\,\,\& \,\,{1991^{10}}\]
k) \[{78^{12}} – {78^{11}}\,\,\& \,\,{78^{11}} – {78^{10}}\] l) \[{72^{45}} – {72^{44}}\,\,\& \,\,{72^{44}} – {72^{43}}\]

Bài 2. So sánh các số \[{3^{39}}\,\,\& \,\,{11^{21}}\]

Bài 3. Chứng tỏ \[{5^{27}} < {2^{63}} < {5^{28}}\]

Bài 4. Chứng minh \[{2^{1995}} < {5^{863}}\]

Bài 5. Chứng minh \[{2^{1999}} < {7^{714}}\]

Bài 6. Viết theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: \[{2^{100}};\,\,{3^{75}};\,\,{5^{50}}\]

Bài 7. So sánh \[{1234^{56789}}\,\,\& \,\,{56789^{1234}}\]

Bài 8. Gọi \[m\] là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0. Hãy so sánh \[m\] với \[{10.9^8}\]

Bài 9. So sánh \[A\] và \[B\] biết: \[A = 1 + 2012 + {2012^2} + {2012^3} + {2012^4} + … + {2012^{71}} + {2012^{72}}\] và \[B = {2012^{73}} – 1\]

Bài 10. So sánh \[A\] và \[B\] biết: \[A = \frac{{{3^{10}}.11 + {3^{10}}.5}}{{{3^9}{{.2}^4}}};\,\,B = \frac{{{2^{10}}.13 + {2^{10}}.65}}{{{2^8}.104}}\]

Bai 11. So sánh \[A\] và \[B\] biết: \[A = \frac{3}{{{8^3}}} + \frac{7}{{{8^4}}};\,\,B = \frac{7}{{{8^3}}} + \frac{3}{{{8^4}}}\]

Bài 12. So sánh \[A\] và \[B\] biết: \[A = \frac{{{{19}^{30}} + 5}}{{{{19}^{31}} + 5}};\,\,B = \frac{{{{19}^{31}} + 5}}{{{{19}^{32}} + 5}}\]

Bài 13. So sánh \[\frac{1}{{{{101}^2}}} + \frac{1}{{{{102}^2}}} + \frac{1}{{{{103}^2}}} + \frac{1}{{{{104}^2}}} + \frac{1}{{{{105}^2}}}\,\,\,\,\,\& \,\,\,\,\,\frac{1}{{{2^2}{{.3.5}^2}.7}}\]

Bài 14. So sánh \[\left( {\frac{1}{{{2^2}}} – 1} \right).\left( {\frac{1}{{{3^2}}} – 1} \right).\left( {\frac{1}{{{4^2}}} – 1} \right)…\left( {\frac{1}{{{{100}^2}}} – 1} \right)\,\,\,\,\,\& \,\,\,\,\, – \frac{1}{2}\]

Bài 15. Tìm các số tự nhiên \[n\] sao cho: a) \[3 < {3^n} \le 234\]          b) \[8.16 \ge {2^n} \ge 4\]

Bài 16. Tìm các số tự nhiên \[n\] biết rằng: \[{4^{15}}{.9^{15}} < {2^n}{.3^n} < {18^{16}}{.2^{16}}\]

Bài 17. Cho \[A = 3 + {3^2} + {3^3} + … + {3^{100}}\]. Tìm số tự nhiên \[n\] sao cho: \[2A + 3 = {3^n}\]

About TranVinhTri

Thích đủ thứ

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *